• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

П Л А Н

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. [1] с. 84-93

Питання для самоконтролю

1. Рівняння площини в R³ .

2. Взаємне розташування площин.

3. Рівняння прямої в R³ .

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.

Л Е К Ц І Я 12

Тема: Функція однієї змінної. Границя функції

Мета: сформувати поняття функції, розглянути способи її задання; ознайомити границею змінної величини, нескінченно малими і нескінченно великими величинами, зв’язком між ними, границею функції, односторонніми границями.

Література: [1, с. 148-164]; [6, с. 205-218].

1. Означення функції, способи її задання.

2. Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв’язок.

3. Границя функції. Односторонні границі.

1. Якщо кожному елементу х з деякої множини Х за певним правилом ставиться у відповідність єдиний елемент у з множини У, то говорять, що у є функція від х і пишуть у=f (x).*

*Це означення належить М.І.Лобачевскому і Л.Діріхле.

х – незалежна змінна (або аргумент).

у – залежна змінна (або значення функції).

Множина Х називається областю визначення функції, множина У – область значень.

Способи задання функції.

1) Аналітичний (за допомогою формули).

при

2) Графічний (за допомогою графіка).

у

у=х²

0 х

3) Табличний

4) Словесний

Функція Діріхле: f (x)=1, якщо х – раціональне число; f (x)=0, якщо х – ірраціональне число.

2. Нехай в деякому процесі змінна величина х наближається до числа , тоді говорять, що х прямує до і пишуть . Це значить, що починаючи з деякого значення, х приймає як завгодно близькі до числа значення, але не рівні . Тоді говорять, що число є границею змінної величини х, і пишуть

=

Означення Число називається границею змінної величини х, якщо для довільного числа >0, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .

Тобто, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х попадають

в - окіл точки і в процесі зміни залишаються в цьому околі.

0 х

Нескінченно малі величини

Нехай змінна величина* х в деякому процесі нескінченно зменшуючись наближається до 0 , тоді говорять, що х є нескінченно малою величиною.

* Величина, границя якої дорівнює 0

Означення. Змінна величина х називається нескінченно малою в процесі її зміни, якщо існує яке завгодно мале додатнє число , таке, що починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .

Тобто значення х попадає в - окіл нуля.

х х

0

Властивості нескінченно малих величин

1) Сума (різниця) нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2) Добуток нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

3) Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, яка має відмінну від нуля границю, є величина нескінченно мала.

4) Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

5) -невизначеність.

Нескінченно великі величини.

Означення. Змінна величина х називається нескінченно великою в деякому процесі, якщо для довільного як завгодно великого додатнього числа М її модуль більший від М: .

Говорять, що змінна х прямує до нескінченності і пишуть

або lim =

Нескінченно великі величини можуть бути і від’ємними, і додатніми.

- нескінченно велика від’ємна величина

- нескінченно велика додатня величина

Властивості нескінченно великих величин

1)

2)

3) - невизначеність

4) - невизначеність

Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими величинами

Величина, обернена нескінченно великій, є нескінченно мала

Величина, обернена нескінченно малій, є нескінченно велика

3. Нехай дана функція у=f (х). Число А називається границею функції f (х) при , якщо для всіх значень х, які як завгодно мало відрізняються від , відповідні значення у як завгодно мало відрізняються від А.

f(x)=А

у у= f(x) Означення

Число А називається границею

А функції у= f(x) при , якщо для

будь-якого наперед заданого скільки

А- завгодно малого числа >0

знайдеться таке число , що для

будь-якого х, відмінного від , при

0 х виконанні нерівності виконується нерівність .

Якщо значення х попадає в -окіл точки , то значення у попадає в

-окіл точки А.

Правило обчислення границі

f (x) = f (a), якщо f (a) існує.

Приклад: Знайти

Властивості границь

1) (f (x)+g (x)) =f (x) +g (x)

(якщо =f (x) іg (x) існують)

для всіх властивостей

2) (f (x) (x)) =f g (x)

3) , якщо g (x)

4) c= f (x), де с – const

5) С=С, де С –const

6) Для того, щоб число А було границею функції f (x) при , необхідно і достатньо, щоб різниця f (x) – А була нескінченно малою величиною, тобто

f (x) =A <=>

де - нескінченно мала величина;

Тобто функція мало відрізняється від своєї границі на

нескінченно малий доданок: при

Односторонні границі

1) Лівостороння границя

Границя функції при за умови, що х залишається меншим за , називається лівосторонньою.

х

2) Правостороння границя

х

Приклад:

Одна з ознак існування границі (про границю проміжної функції)

Нехай функції і Ф (х) при мають одну й ту ж границю:

F (x) = Ф (х) =А. Нехай функція f (x) задовольняє нерівність

F (x)f (x)Ф (х). Перейдемо до lim при :

F (x)f (x)Ф (х)

А f (x) A

f (x) =A

Переглядів: 834