Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Розрахунки ренти

Деяка частина населення держав з ринковою економікою живе за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну (наприклад, спочатку кожного року на протязі 20 років) одержують раніше обумовлену величину коштів з відповідного рахунка в банку або страховій компанії.

Виникає задача: скільки коштів треба покласти на рахунок ренти для виконання відповідних умов?

Перш ніж розв'язати цю задачу у загальному випадку, розглянемо конкретний приклад.

Приклад 2. В день 60-річчя містер Стоун відкрив рахунок ренти в страховій компанії на своє ім'я з умовами, що він буде одержувати щорічно у свій день народження, починаючи з наступного року 5000 доларів на протязі 10 років. Компанія прийняла його кошти і відкрила йому рахунок ренти з щорічним зростанням вкладених коштів на 8%. Яку суму внесено на рахунок ренти містера Стоуна?

Розв'язування. Позначимо через А₁ частину усього внеску, яка забезпечила виконання умов містера Стоуна та компанії через 1 рік, тобто у день 61-річчя. Ця частина ренти на протязі одного року знаходилась на рахунку і тому, згідно з умовою страхової компанії, одержала 8% прибутку, тобто стала 1,08А₁ За умовою містера Стоуна ця величина повинна дорівнювати 5000 доларів. Отже, з рівності

1,08А₁=5000 знаходимо

А₁=5000(1,08)^-1

Таким чином, саме таку суму коштів треба було внести на рахунок у день 60-річчя для того, щоб у день 61 річниці одержати 5 000 доларів.

Тепер позначимо через А₂ частину первинного внеску, яка через два роки буде сплаченою у кількості 5 000 доларів. Ця частина ренти знаходилась на рахунку на протязі двох років і одержала щорічно 8% прибутку, тобто прийняла значення (1,08)²А₂. З рівності (1,08)²А₂=5000 випливає

А₂ = 5000(1,08)^-2.

Таким чином, якщо вклад на рахунок ренти дорівнював А₂, то в день 62 річниці містер Стоун одержав 5000 доларів. Якщо містер Стоун у день свого 60-річчя зробив внесок на рахунок ренти величиною А₁+А₂, тоді його умова одержання 5 000 доларів у дні 61 та 62 річниць буде задоволена.

Аналогічно можна впевнитись, що внесок

А₃ = 5000(1,08)^-3

дозволить йому отримати 5 000 доларів у день 63 річниці і т.д. Для одержання останніх 5000 доларів у день 70-річчя треба було зробити початковий внесок величиною

А₁₀ = 5000(1,08)^-10.

Для повного виконання умов містера Стоуна, він повинен одержувати 5 000 доларів усі 10 років, а тому загальний внесок на рахунок ренти повинен бути

А = А₁ + А₂ + А₃ + ... + А₁₀ = 5000(1,08)^-1 + 5000(1,08)^-2 + + 5000(1,08)^-3+ ... + 5000(1,08)^-10

Таким чином, шукана величина внеску А на рахунок ренти є сума 10 членів геометричної прогресії з першим членом b₁=5000(1,08)^-1 і знаменником q=(1,08)^-1, її сумою буде

Помножимо чисельник та знаменник дробу на (1,08) тоді одержимо

Отже, містер Стоун повинен вкласти на рахунок ренти 33 550 доларів, щоб одержувати по 5 000 доларів щорічно на протязі 10 років.

Тепер розглянемо загальний випадок ренти.

Позначимо через А величину внеску на рентний рахунок. Нехай з цього рахунку роблять виплати розміром Р регулярно, з постійним періодом часу на протязі n періодів, починаючи через один після відкриття рахунка ренти. Нехай величина внеску зростає кожного періода на R відсотків.

Як і в прикладі 2, щоб отримати першу виплату у розмірі Р після першого періода часу треба вкласти в рахунок ренти таку кількість коштів А₁, яка задовольняє рівність

A₁(1+i)=P,

де . З цієї рівності знаходимо значення А₁ вигляду

А₁=Р(1+і)^-1

Аналогічно знаходимо внесок А₂, який зростає до Р після двох періодів часу

А₂=Р(1+і)^-2

а також частину внеску А_n,яка зростає до Р після n періодів

А_n=Р(1+і)^-n

Загальна величина внеску А на рахунок ренти є сумою

А=А1+А2+…+Аn=Р(1+і)^-1+Р(1+і)^-2+…+Р(1+і)^-n

Тобто А – це сума геометричної прогресії n членів, перший Фінансисти використовують

формулу (5) у вигляді

(б),

де а_п/ =/ '[1-(1+Л "] табульована для різних значень і = -г=гт

Л 100

та п.

(5)

Наприклад, а_|0/ =6,710081 у таблиці, тому

/0.08

А = Ра_10/ = 5000а_І0/ =5000-6,710081 = 33550,

/0,08 /0,08

як і в прикладі 2.де і = -т~ . З цієї рівності знаходимо значення А, вигляду

Аналогічно знаходимо внесок А^, який зростає до Р після двох періодів часу

А₂ = Р(1-м)-²,

а також частину внеску А,,, яка зростає до Р після п періодів

ш* Приклад 3. Щорічна рента.

Місіс Стоун у свою 59 річницю зробила внесок 120000 доларів у страхову компанію, як ренту. Компанія страхування життя погодилась надавати місіс Стоун 6% щорічного прибутку з внеску і проводити щорічні виплати на протязі 15 років. Скільки коштів щорічно буде одержувати місіс Стоун з цього рахунку?

Розв 'язання. У даному випадку відома величина внеску на рахунок ренти А= 120000, а також відсоток прибутку К=6, тобто

Загальна величина внеску А на рахунок ренти є сумою

Підставимо значення А та і у формулу (5) або (6) в одержимо шукану величину Р:тобто А — це сума геометричної прогресії п членів, перший член якої Ь₁ = Р(1 + /)"¹, а знаменник ч = (1 + і) '■ Тому

120000= Р-а_15/ =Р-9,712249

ЛІ,06

(значення а взято з таблиці 1).

Питання для самоконтролю

1. Рахунки накопичення

2. Розрахунки ренти

3. Погашення боргу

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Рахунки накопичення	\|	Організаційні документи.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.018 сек.