Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Визначення втрат на тертя.

Розглянемо горизонтальний трубопровід (z₁=z₂); нехай відповідно

Запишемо Рівняння Бернуллі для реальної рідини

де h_вт=h_т

тоді

а) випадок для ламінарного руху

Рівняння Пуазейля

де витрата (3)

(4)

З рівнянь (3) і (4) після перетворень одержуємо

(5)

або

(6)

- формула Дарсі (6) визначає втрати напору на тертя при ламінарному режимі руху

[м] (7)

- коефіцієнт тертя; для круглої труби (64- коефіцієнт, коли труби круглого січення)

для довільного перерізу (В – коефіцієнт, що визначається з довідника)

б) випадок для турбулентного руху (Re>10000)

Для турбулентного потоку для визначення h_т. використовують також рівняння (7). Однак, вираз для коефіцієнта тертя не може бути виведений теоретично через складність структури турбулентного потоку

(8)

Виділяють два випадки в залежності від шорсткості труб (середньої висоти виступів Δ або відносної шорсткості е)

1. гідравлічно гладкі труби (шорсткість незначна ). В даному випадку

(9)

2. гідравлічно шорсткі труби (). В цьому випадку

- формула Нікурадзе (10)

Режим, коли не залежить від , називається автомодельним

Рис. Залежність λ від Re:

1 – гладкі і шорсткі труби; 2- гладкі труби; 3- шорсткі труби.

Таким чином, шорсткість при ламінарному режимі не впливає на λ через значну величину гідравлічного пограничного шару рідини біля стінки, в якому “ховаються” виступи стінки.

турбулентний чи ламінарний потік.

в ламінарному підшарі домінують сили “в’язкості”.

Вплив шорсткості при турбулентному режимі на величину λ визначається співвідношенням між середньою висотою виступів Δ і товщиною в’язкого підшару δ, рух рідини в якому можна вважати практично ламінарним.

Товщина в’язкого підшарувизначається як де

і визначається в залежності від числа Re
Якщо число дуже велике, можливі два випадки

1. - формула Нікурадзе

2. - автомодельна область

а це відповідно задає область тертя

2.Визначення втрат на місцеві опори

Згадаємо , що втрати на місцеві опори виникають у випадку, коли рідина міняє напрямок або швидкість руху, тобто у випадку раптового звуження або розширення потоку, проходженні потоку через вентилі, крани або засувки, повороти потоку.


Рис. Деякі місцеві опори: а – раптове розширення; б – раптове звуження; в – плавний поворот на 90^оС(відведення); г – різкий поворот на 90^оС (коліно),	Рис. Деякі запірно-регулюючі пристрої: а – корковий кран; б – стандартний вентиль; в – прямоточний вентиль з похилим шпинделем

Втрати на місцеві опори визначаються загальним рівнянням:

(11)

- коефіцієнт місцевого опору

з таблиць для розширення або звуження

з таблиць для повороту (де - радіус повороту; - кут повороту)

Оскільки загальні втрати напору визначаються як

то це рівняння можна узагальнити

(12)

Втрати тиску

(13)

Величина - вимірюється в метрах стовпа рідини і не залежить від роду рідини, а втрати тиску Δр_вт залежать від її густини і вимірюється в Па.

3. Визначення діаметра трубопроводу

Діаметр трубопроводу визначається з рівняння витрати:

(14)

Вибір діаметра трубопроводів має важливе техніко - економічне значення.

При збільшенні швидкості діаметр зменшується

(15)

Але одночасно зростають втрати напору і витрати енергії на її транспортування

(16)

Таким чином, величина діаметра трубопроводу однозначно визначається вибором значення швидкості рідини. Чим більша швидкість рідини, тим менший діаметр трубопроводу і, відповідно, менші затрати на його виготовлення, а відповідно, і менша його вартість, а також вартість монтажу і ремонту. Але при збільшенні швидкості ростуть втрати напору в трубопроводі, тобто збільшується перепад тисків, необхідний для переміщення рідини і, відповідно, ростуть затрати енергії на транспортування рідини. Тому для розрахунку оптимального діаметру трубопроводу необхідний техніко-економічний розрахунок, який враховує сумарний вплив різних факторів.

Річні витрати, грн/рік

Нехай М - сумарні річні витрати на експлуатацію трубопроводу [грн./р.]. Вони складаються із затрат А на монтаж, амортизацію і ремонт, а також із затрат Е на експлуатацію з врахуванням енергії, необхідної для переміщення рідин. Одні і другі затрати пов’язані із діаметром трубопроводу d_т.

Рис. До визначення оптимального діаметра трубопроводу.

- оптимальний діаметр визначається мінімумом сумарних витрат енергії. А оскільки за рівнянням (14) при заданій продуктивності трубопроводу швидкість руху і діаметр пов’язані однозначною залежністю, то швидкість руху рідини також буде мати оптимальне значення.

На основі техніко-економічних розрахунків оптимальні швидкості руху рідин і газів не повинні перевищувати такі значення:

1. Малов‘язкі краплинні рідини – 3м/с:

2. В‘язкі краплинні рідини – 1м/с;

3. При русі краплинних рідин самовільно – 0,2-1м/с;

4. Гази, що рухаються за рахунок природної конвекції - 3-8м/c;

5. Гази при порівняно невеликих – надлишкових тисках (вентилятори) – 8-15м/с;

6. Гази під тиском – 15-20 м/с;

7. Насичена водяна пара – 20-30 м/с;

Перегріта водяна пара – 30-50 м/с.

Лекція №6.

1. Теорія подібності

2. Гідродинамічна подібність

3. Метод аналізу розмірностей

1. Теорія подібності

Шлях вивчення природних явищ полягає у відтворенні їх у вигляді моделей: математичних або фізичних. Найбільш досконалим для дослідження є опис процесу у вигляді диференційних рівнянь, які доповнюються умовами однозначності (початковими і граничними умовами) з наступним їх інтегруванням. Прикладами такого підходу є отримання таких рівнянь як основне рівняння гідростатики, рівняння нерозривності потоку, рівняння Бернуллі.

Другий підхід проявляється тоді, коли математичний опис на диференційному рівні існує, але система рівнянь не може бути проінтегрована в силу ймовірносної природи самого явища. У такому випадку застосовується теорія подібності.

Третій шлях полягає у тому, що явище настільки складне, що ми не можемо скласти відповідний математичний опис у вигляді диференційних рівнянь. У такому випадку використовується метод аналізу розмірностей.

Фізичне моделювання є основою теорії подібності, яка дає нам можливість найбільш раціонально узагальнювати результати досліджень природних явищ.

Масштабування пов’язане з переносом результатів з лабораторних об’єктів на реальні об’єкти.

Першим етапом є геометричне масштабування і відповідно геометрична подібність лабораторної моделі і реального апарату.

- константа подібності

- інваріант подібності

Константи подібності характеризується рівним співвідношенням відповідних фізичних і геометричних параметрів у всіх точках для двох подібних процесів. Але при переході до нового подібного процесу константи будуть вже змінюватись.

Інваріанти подібності мають різні значення для різних точок одного чи іншого об’єкту, але вони будуть постійними при переході від одного об’єкту до іншого.

Інваріанти подібності, які складаються з різних за розмірностями величин, але в комбінації є безрозмірними називаються критеріями. Прикладом є відомий нам критерій Рейнольдса

Для отримання критеріїв з диференційних рівнянь будемо використовувати такий математичний прийом: відношення приросту відповідних величин можна замінити відношенням самих величин

Можна перевірити на числовому прикладі

Основні положення теорії подібності узагальнюються теоремами подібності. Існують три теореми подібності.

I. Теорема Ньютона: подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності. Перша теорема показує, які величини нам потрібно вимірювати при дослідженні, а саме такі, що входять в критерії подібності.

II. Теорема Бекінгема: явище, яке описується диференційним рівнянням може бути описане відповідним рівнянням у формі зв’язку між критеріями подібності, причому критерії можна отримати шляхом ділення одних складових диференційного рівняння на другі.

Загальний вигляд критеріального рівняння

Всі критерії можна розділити на дві групи:

1. визначаючі;

2. визначувані.

Визначуючі визначаються з умов однозначності і відомі перед проведенням експерименту.

Визначувані розраховуються з відповідного критеріального рівняння

визначуваний критерій.

Друга теорема відповідає на питання, як обробляти результати експериментів: їх слід представляти функціональним зв’язком між критеріями.

III. Теорема Кірпічова-Гухмана: подібними є явища, які описуються однаковими диференційними рівняннями і для яких виконуються подібність умов однозначності, або для подібних явищ чисельно рівними є визначаючі критерії.

2. Гідродинамічна подібність

Найбільш узагальнюючим рівнянням, яке описує поведінку реальної рідини є диференційне рівняння Нав’є-Стокса, яке на відміну від диференційних рівнянь Ейлера для потоку ідеальної рідини враховує сили тертя між шарами рідини.

Розглянемо складову рівняння Нав’є-Стокса записане по напрямку Z

(1)

де

(2)

для наступних перетворень поділимо (2) на dτ

(3)

Тут в рівнянні (3) - складова ,яка характеризує рівнодіючу сили інерції

- рівнодіюча сили інерції після перетворення (l –характерний геометричний розмір);

-складова, що характеризує нестаціонарну складову сили інерції ;

- складова, яка характеризує впив сили ваги;

- складова, яка характеризує вплив сили тиску;

- складова, яка характеризує вплив сил тертя;

Згідно другої теореми подібності

- таким чином критерій Рейнольдса має такий фізичний зміст: це відношення сил інерції до сил тертя у потоці

- критерій Ейлера

- цей критерій є визначуваним і відображує вплив параметрів рідини на перепад тиску при її русі;

- критерій Фруда (відображує вплив сил ваги самої рідини приїїрусі)

- критерій гомохронності (враховує невстановлений характер рухуу подібних потоках)

Критерії ще називають комплексами подібності (безрозмірні величини одержані комбінацією величин з різнорідними розмірностями).

З геометричної подібності витікає співвідношення , що є симплексом подібності (складене з однакових за розмірністю величин).

Критеріальне рівняння приймає такий вигляд

Найбільш часто критеріальному рівнянню надають вигляд степеневої залежності

Завдання дослідника полягає у визначенні констант .

Допоміжні критерії отримують комбінацією основних.

- критерій Галілея

- критерій Архімеда

- густина частинки;- густина рідини

- модифікований критерій Рейнольда в обертових рухах

- лінійна швидкість при обертовому русі (- кутова швидкість [рад/c], де n-кількість обертів [об/хв])

3. Метод аналізу розмірностей

Метод базується на -теоремі Бекінгема: якщо явище описується за допомогою n-незалежних перемінних і m одиниць розмірності, то можна утворити критеріїв подібності.

Розглянемо відомий вже нам приклад визначення втрат тиску при русі рідини в трубі, але будемо вважати, що ми експериментально виявили впив на втрати тиску таких параметрів:

Тут (тобто слід очікувати при узагальненні 4 критерії)

(1 є показник ступеню при кг)

(-1 є показник ступеню при м)

(-2 є показник ступеню при с)

Оскільки є три рівняння і шість невідомих (x,y,z,n,m,l), тому три з них

,,виразимо через інші

Коли рух рідини відбувається в прямій горизонтальній трубі критерієм Фруда можна знехтувати і тоді

Під час узагальнення результатів експериментів одержано рівняння або . Після деяких перетворень

. Позначимо тоді

Таким чином, використовуючи узагальнення дослідних даних за допомогою методу аналізу розмінностей, ми одержали відоме нам рівняння Дарсі для турбулентного руху.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Практичне застосування рівняння Бернуллі.	\|	Традиційний підхід у визначенні принципів дидактики

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.01 сек.