Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Початкові та центральні моменти дискретної випадкової величини

 

Дискретна випадкова величина задана табличкою:

 

Над дискретною величиною проведено довільних випробувань. Результатами випробувань є числа, ї їх позначимо: . Візьмемо середнє арифметичне:

Це число має наступний зміст, а саме: воно є центром групування в результаті проведених конкретних випробувань.

 

Якщо достатньо велике число, то з закону великих чисел:

Математичним сподіванням випадкової величини зветься:

Примітка! Математичне сподівання чи математичне очікування (слова-синоніми)

З попередніх розмірковувань випливає наступний зміст математичного сподівання: це число на числовій осі, відносно якого групуються результати конкретних випробувань над випдковою величиною у довільній, достатньо великій серії випробувань.

Властивості математичного сподівання:

 

1) математичне сподівання константи дорівнює константію. Константу можна представити як вироджену випадкову величину, задавши табличку для неї наступним чином:

2) (Константа виноситься з-під знака математичного сподівання)

Тоді за загальною формулою

Самостійно довести, якщо і числа, то

 

Розглянемо будь-яку числову скалярну функцію дійсного аргументу

 

Якщо у випробуванні настало , то

 

Ця табличка не є табличкою для випадкової величини , бо у першому рядку числа можуть повторюватись.

Наприклад.

 

Щоб побудувати табличку для випадкової величини необхідно у першому рядку всі одинакові числа замінити одним і у відповідність йому поставити суму ймовірностей. А з цього випливає:

 

Початковим моментом -ого порядку випадкової величини зветься матиматичне сподівання у степені

 

 

Три означення матиматичного сподівання:

1)

2)

3)

Нехай , тоді

. Математичне сподівання може бути: обмежене по модулю, чи , невизначеним.

 

Випадкова велична зветься центровою випадковою величиною, якщо

 

 

Центарльним моментом -ого порядку зветься математичне сподівання центрованої величини у ступені .

Дисперсією випадкової величини зветься її другий центральний момент

 

Характеристики дисперсії

Дисперсія є якісна характеристика ступеня концентрації результату конкретних випробувань над випадковою величиною відносно її математичного сподівання. А саме: чим менша дисперсія, ти м тісніше концентруються результати конкретних випробувань відносно математичного сподівання.

Дійсно, нехай дисперсія – це мале число. Це означає, що кожен доданок суми – дуже мале число. Розглянемо довільну елементарну подію, яка по модулю сильно відрізняється від математичного сподівання . Тоді ця (елементарна подія – )2 є дуже велике число, але відповідний доданок в сумі дуже малий. Це означає, що ймовірність наставання цієї події надзвичайно мале число. З цього випливає, що ця елементарна подія майже ніколи не буде наставати в результаті конкретних випробувань. Таким чином мати достатньо великі ймовірності наставання і часто наставати у результаті конкретних випробувань можуть тільки ті елементарні події, що по модулю мало відрізняються від математичного сподівання.

Формальні властивості дисперсії

1) , то

(Дану властивість довести самостійно)

2) . Якщо , то вона виноситься з-під знака дисперсії у квадраті.

Доведення:

 

3)

Доведення:

 

4)

Доведення:

 

Твірна функція – математичне сподівання помножене на

 

Твірна функція завжди існує і є аналітичною, якщо – обмежене число. Якщо – нескінченність, твірна функція може бути обмеженою функцією дійсного аргумента чи нескінченністю.

Властивості

Якщо твірна функція є аналітичною чи елементарною, то

1) -ата похідна при -ий початковий момент.

2)

Доведення першої властивості

Якщо сума є аналітичною функцією, то -у похідну по можна внести під знак суми. З цього випливає перша власитвість і брати похідну від кожного доданку суми.

-ата похідна має вигляд

 

 

Доведення другої властивості:

Аналітична числова функція завжди розкладається в ряд Маклорена.

Наприклад. Твірна функція біномінального розподілу. Випадкова величина має біномінальний розподіл, якщо її елементарні події – це число появ події в незалежних випробуваннях Бернуллі. А ймовірність наставання цієї елементарної події дорівнює ймовірності наставання цього числа.

 

Знайдемо твірну функцію випадкової величини

 

(Самостійно довести, що у біномінальному розподілі та . При доведенні використати, що перша похідна від твірної функції при дорівнює . Для другої частини доведення взяти другу похідну по , при дорівнює . Врахувати, що )

 


Читайте також:

  1. Абсолютні і відносні величини
  2. Абсолютні і відносні статистичні величини
  3. Абсолютні, відносні та середні величини.
  4. Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин
  5. Векторні і скалярні величини
  6. Векторні і скалярні величини
  7. Величини ліміту каси підприємства за три місяці
  8. Величини.
  9. Ве­личи­ни та її вла­с­ти­во­с­ті. Дискретні випадкові величини та їх розподіли
  10. Видатки та заощадження як функції доходу. Автономні величини та їх чинники. Крива планових видатків.
  11. Види та жанри образотворчого мистецтва, методика ознайомлення з ними у початковій школі.
  12. Визначення величини зносу направляючих.




Переглядів: 1515

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Випадкові величини | І модель розподілу Пуасона.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.