Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Приклад.

Приклад.

Розв‘язати систему за формулами Крамера:

Складемо та обчислимо визначники:

Тоді

3.3. Матричний запис системи лінійних рівнянь та їх розв’язування

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими

Введемо матриці

; .

Матрицю ,складену з коефіцієнтів системи, називають основною матрицею системи, матрицю – матрицею з невідомих, а матрицю – матрицею з вільних членів. Тоді згідно з правилом множення матриць систему можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею :

Припустимо, що матриця системи має обернену матрицю ; помножимо обидві частини цієї рівності на зліва:

Оскільки і , то

(8)

Ця формула носить назву розв‘язку матричного рівняння.

Треба зауважити, що розв‘язок системи в матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи не вироджена ( тобто, визначник цієї матриці не дорівнює нулю ).

Розв‘язати систему рівнянь матричним засобом:

Згідно означень, маємо

Розглядаючи тему обернена матриця, ми знаходили визначник цієї матриці та обернену до матриці матрицю

За одержаною вище формулою,знаходимо

Отже,

3.4. Розв‘язування системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

Одним з найпоширеніших методів розв‘язування систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаусса.

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими:

За допомогою елементарних перетворень цю систему приводять до системи вигляду:

Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною.

Дослідимо цю систему.

§ Якщо система містить рівняння виду або , то вона несумісна.

§ Якщо система не містить рівнянь виду ( ), то вона має безліч розв‘язків.

Назвемо невідомі основними, а всі інші – вільними. Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи їх у рівняння системи, з -го рівняння знайдемо . піднімаючись угору по системі, знайдемо всі останні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь – яких значень, то система має безліч розв‘язків.

§ Якщо , то система має трикутний вигляд і вільних невідомих немає. Система має єдиний розв‘язок.

Розв‘язати систему рівнянь методом Гаусса.

При розв‘язуванні системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не саму систему, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів. Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення, приходимо до розв‘язку системи.

{ зробимо коефіцієнт рівним одиниці, тобто поміняємо місцями перший та другий рядки } =

= { помножимо послідовно перший рядок на (-2), (-1), (-1) та додамо відповідно до 2, 3, 4 рядків } =

= { перший та третій рядки залишимо без змін, а другий помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =

= { перший та другий рядки не змінюємо, а третій помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =

= .

Отже, система еквівалентна системі трикутного вигляду

І має єдиний розв‘язок x

3.4. Однорідні системи лінійних рівнянь.

Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:

Ця система завжди має нульовий розв‘язок:

Ненульовий розв‘язок, якщо він є, можна знайти методом Гаусса. Якщо і визначник системи дорівнює нулю,то однорідна система має безліч ненульових розв‘язків.

Покажемо, що для однорідної системи трьох рівнянь з трьома невідомими можна знайти загальні формули, що виражають ненульові розв‘язки через коефіцієнти системи.

Розглянемо систему

Якщо визначник системи системи то система має єдиний нульовий розв‘язок. Дійсно, , тому за формулами Крамера

Покажемо, що коли визначник то система має безліч розв‘язків. Розглянемо такі випадки.

§ Припустимо, що у визначнику існує принаймні один відмінний від нуля мінор другого порядку. Нехай, наприклад,

Візьмемо ті рівняння системи, що містять відмінний від нуля мінор і запишемо їх у вигляді

Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то за формулами Крамера

де

;

Оскільки може набувати будь – яких дійсних значень, покладемо , де – довільне дійсне число, тоді

; .

§ Нехай тепер визначник початкової системи і всі його мінори другого порядку дорівнюють нулю. Тоді система зводиться до одного рівняння з трьома невідомими. Надаючи двом невідомим довільних значень, знаходять відповідно їм третє невідоме.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Приклад.	\|	Івано-Франківськ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.