МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Перетворення Лапласа1. Оригінал Означення 1.Комплекснозначна функція дійсної змінної називається оригіналом, якщо вона задовольняє такі умови: 1) при ; 2) при функція кусково-неперервна, тобто на будь-якому проміжку має не більш ніж скінченну кількість розривів першого роду; 3) при функція має обмежений степінь зростання, тобто існує таке додатне число і таке невід’ємне число , що для всіх виконується нерівність . Точну нижню межу (найменше значення) , для якого виконується умова 3), називають показником росту функції . Функції-оригінали при або обмежені або прямують до нескінченності не швидше, ніж показникові функція . Такі функції ще називають функціями експоненціального типу. Найпростішим прикладом оригіналу є одинична функція Хевісайда (достатньо взяти ). Якщо задовольняє умови 2) і 3), то функція є оригіналом. Тому надалі для скорочення запису домовимось замість писати і пам’ятати, що при рівна нулеві. Функції є оригіналами. Проте далеко не всі функції є оригіналами. Наприклад, не є оригіналом, бо не виконується умова 3); функція теж не є оригіналом, бо не виконується умова 2). Зауваження. Якщо і оригінали, то для довільних сталих функції , при , , , та також є оригіналами. 2.Зображення Означення 2. Зображенням (перетворенням Лапласа) функції-оригіналу називається функція комплексної змінної , що визначається інтегралом Лапласа: . Символічно перетворення Лапласа записують або . Зрозуміло, що потрібно з’ясувати, де ж інтеграл Лапласа збігається. Теорема 1.Якщо функція – оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа абсолютно збігається в півплощині , а саме , і є в цій півплощині аналітичною функцією. Теорема 2 (необхідна умова існування зображення).Якщо функція – зображення функції з показником росту , то . Знайдемо зображення деяких функцій, використовуючи означення. Приклад 1.Знайти зображення одиничної функції Хевісайда. Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа . Якщо , то . Таким чином, . Приклад 2.Знайти зображення функції . Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа . Оскільки , то при . Отже, . 3. Лінійність перетворення Лапласа. Теорема 1.Нехай ,-довільні числа. Тоді
. Доведення. Теорема 2 (теорема єдності).Якщо , то . Приклад 1.Знайти зображення функції . Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Оскільки , то за властивістю лінійності маємо при : . Вправа.Показати, що: 1) ; 2) ; 3) . 4. Основні теореми. Теорема 3 (теорема подібності).Якщо , де , то при , де . Доведення. За означенням перетворення Лапласа маємо , оскільки . Приклад 2. Знайти зображення функцій , , , . Розв’язання.За теоремою подібності ; ; ; . Теорема 4 (теорема про зміщення зображення).Якщо , , то , де . Доведення. За означенням перетворення Лапласа маємо , де . Приклад 3. Знайти зображення функцій ; . Розв’язання.За теоремою про зміщення зображення ; . Теорема 5 (теорема про запізнення). Якщо , то , де – довільне додатне число. Доведення. Функція-оригінал має вигляд: За означенням перетворення Лапласа маємо . Перший інтеграл дорівнює нулю, оскільки , коли . У другому інтегралі зробимо заміну . Тоді
Теорема 6 (теорема про випередження). Якщо , то , де – довільне додатне число. Процес, що описується функцією , починається пізніше на час ніж процес, який описується функцією , а відповідно скоріше на , тому і відповідні теореми називаються теоремами запізнювання і випередження.
Теорема 7 (зображення періодичного оригіналу). Якщо – періодична функція, період якої , і, то . Читайте також:
|
||||||||
|