Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій

ОзначенняПротилежними називаються події А і ( не А), які утворюють повну групу (рис. 2).

Рис. 1

Рисунок 2

Прикладом А і є поява аверса і реверса при киданні монети.

ОзначенняДобутком подій А і В називається подія А·В, яка полягає в одночасній появі А і В (рис.3).

А·В

Рисунок 3

ОзначенняСумою подій А і В називається подія А + В , яка полягає в появі А або В ( або АВ ) (рис.4).

А В А + В

Рисунок 4

Аналогічно визначаються добуток і сума більшого числа подій.

Теорема 1 Імовірність суми сумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку

Р ( А + В) = Р (А) + Р (В ) - Р ( А·В)

Теорема 2Якщо А і В несумісні, то А·В =V, Р (А·В) = 0 і тоді ймовірність суми несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Р ( А + В ) = Р (А ) + Р ( В ).

Останнє співвідношення можна використати як означення несумісних подій.

Н а с л і д о к 1. Якщо події А_1, А_2, . . . А_n попарно несумісні, то

Р (А₁ + А₂ + . . .+ А_n ) = Р (А₁) + Р ( А₂) + . . . + Р ( А_n)

(треття аксіома А. Колмогорова).

Н а с л і д о к 2. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р ( А₁ ) + Р ( А₂ ) + . . . +Р (А_n) = 1

Н а с л і д о к. 3. Сума ймовірностей взаємо протилежних подій дорівнює одиниці:

Р ( А ) + Р ( ) = 1.

Так, якщо ймовірність влучення в ціль Р (А) = 0,8, то ймовірність промаху q = 1 – Р ( А) = 0,2.

Події А і В можуть бути залежнимий незалежними. У першому випадку поява А впливає, а в другому не впливає на ймовірність появи В.

Приклад

У ящику чотири білих і три чорних кулі. В результаті першого випробування ( вилучення кулі з ящика) з’явилася чорна куля ( подія А). Знайти ймовірність появи білої кулі ( подія В) в другому випробуванні, якщо: а) кулю повертають в ящик, в) кулю не повертають після першого випробування.

Розв’язування. Маємо а) Р(В) = 4 / 7 – незалежна подія;

в) Р ( В/А ) = 4 / 6 = 2 / 3 – залежна подія.

ОзначенняУмовною ймовірністю Р (В/А ) називається ймовірність події В за умови, що подія А відбулась.

Теорема 3 Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої

Р ( А·В ) = Р (А)· Р (В/А) = Р (В)· Р ( А /В ).

Н а с л і д о к. Р (В / А ) = Р ( А·В) / Р ( А ).

Теорема 4Ймовірність добутку незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Р ( А·В ) = Р (А )· Р ( В ).

Ця теорема випливає з попередньої. Крім того, можна довести, що коли А і В незалежні, то незалежні також А і , і В, і .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Домашнє завдання	\|	Ймовірність появи хоча б однієї події

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.