Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків

 

Розв’язування багатьох економічних задач зводиться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі де-яких методів розв’язування таких систем використовуються вирази, які називаються визначниками ( або детермінантами).

 

Розглянемо квадратну таблицю з n2 чисел, розміщених в n - горизонтальних і n -вертикальних рядах. За спеціальними правила-ми знаходиться число, яке називають визначником n -го порядку і позначають буквою " " грецького алфавіту:

  a11 a12 ... a1n  
= a21 a22 ... a2n .
  ..............................  
  an1 an2 ... ann  

 

Числа aij( i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n ) - називають елементами

 

визначника. Перший індекс вказує номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких обидва індекси однакові (тобто елементи a11,a22,...,ann ) утворюють

головну діагональвизначника.Інша діагональ називаєтьсянеголо-вною(допоміжною).Порядоквизначника визначає кількість йогорядків (або стовпців).

 

При обчисленні визначників n -го порядку одержуємо число, яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його еле-ментів, взятих по одному з кожного з n рядків і кожного із n стов-пців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша - про-тилежні.

 

Покажемо, як обчислюються визначники другого і третього порядків. Для уточнення поняття “визначник” розглянемо два лінійних рівняння з двома невідомими з буквеними коефіцієнтами:

 

a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .

 

Для розв’язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на


 


відповідні коефіцієнти, при яких виключається одне з невідомих:

a11 x1 + a12 x2 = b1 ,   a22 , a21  
   
a21 x1 + a22 x2 = b2 .   a12 ,a11  

 

В залежності від використаної пари множників ( по вертикалі) виключаємо або x1 або x2 і отримаємо такі рівняння:

( a11a22 a12a21 )x1 = b1a22 b2a12 ,

( a11a22 a12a21 )x2 = b2a11 b1a21 .

 

Звідси

x1 = b1a22 b2a12 , x2 = b2a11 b1a21 .  
     
  a11a22 a12a21   a11a22 a12a21  
Ці вирази мають зміст тільки при умові, якщо знаменник не  
дорівнює нулю.        
Якщо, a11a22a12a21 = 0 , то система рівнянь або немає  
             

розв’язку , або має нескінченну множину розв’язків. Коефіцієнти при невідомих утворюють вирази, які називаються визначниками.

 

Розглядаючи ці коефіцієнти, ми бачимо, що вони однакові при обох невідомих; складаються з двох добутків,кожний з яких вклю-чає два елементи.

Визначники другого порядку символічно позначаються так:

a11 a12 .

a21 a22

 

Визначником другого порядкуназивається число,яке дорів-

нює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей,

тобто   a11   a12   = a11a22 a12a21 .          
    a21 a22                        
                         
  Це ілюструється схемою: a11 a12   =   a11 a12   .    
      a21 a22       a22   a21   3    
                 
  Приклад 1.Обчислити визначник другого порядку:   .  
                                 

Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:

 

1 3 = 1 6 ( 3 )7 = 6 + 21 = 27.

76


 

 


Визначником третього порядкуназивається число,яке зна-

 

ходиться за формулою

a11 a12 a13  
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11 .

 

Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з такої схеми:

  a11 a12 a13       a11       a12       a13      
                 
  a21 a22 a23   =   a22   +   a23   +   a21    
  a31 a32 a33       a33       a31       a32      
  a13       a12       a11          
                   
a22     a21     a23   .    
  a31           a33       a32        
                                                                                           

Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається правилом трикутників.Тут доданки із знаком“+”є добуткамиелементів, які стоять на головній діагоналі визначника a11,a22,a33 і

 

добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами паралельними головній діагоналі a12,a23,a31 і a13,a21,a32 . Із знаком

 

“-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагона-лі a13,a22,a31 і добутки елементів вершин трикутників із основами,

 

паралельними цій діагоналі визначника: a12,a21,a33 і a11,a23,a32 .

 

Приклад 2.Обчислити визначник=   2      
     
  3   .  
    4      

 

Розв’язування. Користуючись правилом трикутників,

 

    2    
     
одержимо   3 = 3 4 ( 4 ) + ( 2 )( 3 ) 5 + 1 2 0 0 4 5  
    4    

 

( 2 ) 1 ( 4 ) ( 3 ) 2 3 =−48 + 30 + 0 0 8 + 18 =−8.

 

Правило трикутників легко запам’ятати, якщо дописати поряд з визначником перший, а потім другий його стовпці. Добутки еле-ментів, які знаходяться на діагоналях, відмічених на схемі суціль-


 


ними лініями, беруться із знаком “+”, a добутки елементів, які зна-ходяться на діагоналях, позначених на схемі пунктиром, із знаком “-”. Алгебраїчна сума цих шести добутків і дає значення визначника

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 .

a31 a32 a33 a31 a32

Такий спосіб обчислення визначника третього порядку нази-

вається правилом Саррюса.

 

Обчислимо попередній визначник 3-го порядку за правилом Саррюса.

  2   2 = 3 4 ( 4 ) + ( 2 )( 3 ) 5 + 0 1 2 0 4 5  
     
  3    
  4      

3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 1 ( 4 ) =−48 + 30 + 0 0 + 18 8 =−8.

 

При обчисленні визначників використовують їх властивості, які розглядаються в наступному параграфі.

 

Зауваження. Визначником першого порядку є число,яке дорі-внює цьому елементу, тобто а11 = а11. Тому не слід плутати позна-чення визначника з модулем самого числа.

 


Читайте також:

  1. II. Поняття соціального процесу.
  2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
  3. А/. Поняття про судовий процес.
  4. Автоматизовані станції управління насосними станціями водопостачання першого, другого і третього підйомів
  5. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
  6. Адміністративні правовідносини: поняття, ознаки,
  7. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
  8. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
  9. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
  10. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
  11. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
  12. Аудиторські докази: поняття та процедури отримання




Переглядів: 1476

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ | Властивості визначників

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.01 сек.