МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Властивості визначників
Визначники довільного порядку мають ряд властивостей. Властивість 1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки
на стовпці, то величина визначника не зміниться:
Доведення. Для визначника другого порядку маємо:
Заміну у визначнику рядків на відповідні стовпці називають
транспонуваннямвизначника. Приклад 1.Перевіримо справедливість властивості на
прикладі визначника третього порядку:
Поміняємо місцями рядки на стовпці:
Отже, величина визначника не змінюється при його транспо-нуванні, тобто його рядки і стовпці рівноправні.
Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два ря-дки (або стовпці), то він змінить тільки знак, не змінюючи абсолютної величини.
Приклад 2.Поміняємо місцями перший і третій рядки визна-чника третього порядку із прикладу 1.
тобто має місце властивість 2.
Властивість 3. Якщо у визначнику всі елементи довільногорядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю:
Доведення. Доведення цієї властивості очевидне,оскільки приобчисленні визначника всі доданки містять нульові множники i -го рядка. Тому і сам визначник дорівнює нулю.
Властивість 4. Якщо у визначнику є два однакові рядки(абостовпці), то визначник дорівнює нулю.
Доведення. Для доведення цієї властивості поміняємо місцямиi -ий і k −ий рядки.З однієї сторони величина визначника незміниться (оскільки однакові рядки) , а з другої – зміниться знак на протилежний (згідно з властивістю 2). Якщо позначити величину визначника через , то одержимо рівність = − , тобто 2 = 0 , а
значить = 0.
Приклад 3.Визначник третього порядку дорівнює нулю:
23 3
− 1 1 1 = 10 + 12 − 15 − 12 + 15 − 10 = 0 ,
45 5
оскільки він має два однакові стовпці.
Властивість 5. Якщо всі елементи довільного рядка(або сто-впця) мають спільний множник, то його можна винести за знак ви-значника:
Доведення. Нехай всі елементиi-го рядка визначника маютьспільний множник λ. Оскільки визначник дорівнює сумі добутків
елементів, в т.ч. з розглянутого i -го рядка, то λ можна винести з цієї суми за дужки. Якщо записати вираз в дужках у вигляді визнач-ника, то одержимо попередню рівність. Наслідок. Якщо довільний рядок(або стовпець)визначникапомножити на число λ, то величина визначника зміниться в λ раз.
Зокрема, якщо елементи, наприклад, першого рядка визначни-ка другого порядку мають спільний множник “ λ ”, то
елементи першого і другого рядків мають спільні множники “2” і “4”, тому їх можна винести за знак визначника
Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка(або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або стовпця), то визначник дорівнює нулю:
Доведення. Нехай елементиi-го іk-го рядків пропорційні.Завластивістю 5 постійний множник пропорційності λ можна винести за знак визначника. При цьому одержимо добуток числа λ на ви-значник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю (за властивістю 4).
Приклад 5.Визначник третього порядку
04 5
тому що перший і другий рядки пропорційні.
Властивість 7. Якщо у визначнику всі елементи довільногорядка ( або стовпця) є сумою двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників. При цьому елементи розглянутого рядка ( або стовпця ) в першому визначнику є перши-ми доданками, а елементи відповідного рядка ( або стовпця) другого визначника - другими доданками:
Доведення. Доведемо справедливість цієї властивості наприкладі визначника другого порядку:
Елементи, наприклад, другого рядка можна представити у ви-гляді суми двох доданків:
= ( −18 + 2 + 0 + 0 − 8 − 6 ) + ( −12 + 2 + 0 + 0 − 8 − 3 ) =−30 − 21 =−51.
Властивість 8. Величина визначника не зміниться,якщо доелементів довільного рядка (або стовпця) додати відповідні елемен-ти іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число λ:
Доведення. Для доведення представимо визначник правої час-тини згідно з властивістю 7 у вигляді суми двох визначників:
В другому визначнику правої частини елементи і-го рядка пропор-ційні відповідним елементам k-го рядка, тому за властивістю 6 та-кий визначник дорівнює нулю. Отже, має місце властивість 8.
Приклад 7.Обчислити визначник
Тут ми до елементів третього рядка додали відповідні елемен-ти першого рядка, помножені на число “-3”.
Надалі, властивість 8 використовується для обчислення ви-значників вищих порядків. При цьому в довільному рядку ( або сто-впці) утворюємо всі нулі, крім одного елемента. Нехай маємо визначник n − го порядку ( n > 3 ) ;
порядку називається визначник ( n − 1 ) − го порядку, одержаний
визначника n − го порядку називається мінор для цього елемента, взятий із знаком “+”, якщо число ( i + j ) - парне та із знаком “-”,
Алгебраїчні доповнення A13 і A32 знайдемо за попередньою формулою:
A13 = ( −1 )1+ 3 M13 = М13 ; A32 = ( −1 )3+ 2 M32 =− M32 .
Згідно з означенням 1 маємо:
Шукані алгебраїчні доповнення будуть A13 = 6 ; A32 = −18. Властивість 9. (Теорема Лапласа).
Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення:
перша формула є розкладом визначника за елементами його рядка, а друга - розкладом визначника за елементами його стовпця.
Доведення. Доведемо цю властивість для визначника третьогопорядку:
− a12a21a33 − a23a32a11 = a11 ( a22a33 − a23a32 ) + a12 ( a23a31 − a21a33 ) + + a13 ( a21a32 − a22a31 ). Однак,
Таким чином, = a11A11 + a12A12 + a13A13.
Це формула розкладу визначника за елементами першого ряд-ка. Аналогічно можна знайти розклад визначника за елементами іншого рядка або довільного стовпця.
З допомогою цієї властивості, обчислення визначника n − го порядку зводиться до обчислення визначників ( n − 1 )- го порядку.
Тому при обчисленні таких визначників найкраще вибирати для ро-зкладу рядок або стовпець, в якому є нулі. При цьому будемо обчи-слювати не n визначників ( n − 1 )- го порядку, а менше.
Приклад 9.Обчислити визначник3-го порядку,розклавшийого за елементами першого рядка:
1⋅ ( −1)2 (0 − 24) + 2 ⋅ ( −1)3(0 − 20) − 3⋅ ( −1)4 ( 18+ 5 ) =−24 + 40 − 69 =−53.
Зауваження. Даний визначник простіше було б обчислювати,розклавши його за елементами третього рядка (або третього сто-впця), оскільки один із доданків не потрібно обчислювати (елемент a33 = 0 ).
= Читайте також:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|