Коло і його рівняння

Означення1. Колом називається множина точок площини рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром кола.

у М(х,у)

С(а,b)

О х

Мал.50

Нехай центр кола знаходиться в довільній точці С( a ,b ) (мал.50). Ви-

ходячи з означення 1, віддаль довіль-ної точки M ( x , y ) площини до центра

C( a ,b ) є величина стала і дорівнює r .За формулою(2.3)маємо

r = ( x − a )² + ( y − b )² .Підносячи

обидві частини цієї рівності до квадрату одержимо рівняння, яке називається нормальним рівнянням кола

( x − a )² + ( y − b )² = r ² .

(2.110)

Вияснимо умови, при яких загальне рівняння другого степеня з двома змінними (2.109) є рівнянням кола. В цьому рівнянні А,В і С

не дорівнюють нулю одночасно, тобто A² + B² + C² ≠ 0 . Коли в рі-внянні (2.110) розкрити дужки, то одержимо

x² + y² − 2ax − 2by + ( a² + b² − r ² ) = 0 . (2.111)

Щоб рівняння (2.109) і (2.111) представляли одну і ту ж лінію потрібно, щоб коефіцієнт B = 0 , а всі решту пропорційні, зокрема

^A = ^C , звідси A = C ≠ 0 .Тепер рівняння(2.109)має вигляд

1
				Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0 .	(2.112)
	Рівняння (2.112) називається загальним рівнянням кола.
	Обидві частини рівняння (2.112) поділимо на A ≠ 0 і допов-
нимо члени,які містять x і	y до повних квадратів.Одержимо
		D ²		F	D² + E ² − 4 AF
	x +			+ y +		=	.	(2.113)
			4 A²
		2 A		2 A

Порівнюючи (2.113) з рівнянням кола (2.110) можна зробити висновок, що рівняння (2.109) є рівнянням кола при таких трьох умовах

1 )A = C , 2 )B = 0 , 3 )D² + E ² − 4 AE > 0.

При виконанні цих умов для кола (2.113) центр знаходиться в

− D ,− E D² + E ² − 4 AP

точці C , а радіус r = .

2 A 2 A

2 A

Приклад 1.Привести загальне рівняння колаx² + y² − 6 x + 4 y − 3 = 0 до нормального вигляду.

Розв’язування. Згрупуємо члени зxтаyі доповнимо їх доповного квадрату, то одержимо

( x² − 6 x + 9 ) − 9 + ( y² + 4 y + 4 ) − 4 − 3 = 0 ,або

( x − 3 )² + ( y + 2 )² = 16. Координати центра кола a = 3,b =−2, а

радіус кола r = 4.

Приклад 2(економічного характеру).Два підприємства,відс-тань між якими 80 км, виробляють деяку продукцію, причому фаб-рично-заводська ціна продукції на обидвох підприємствах однакова і дорівнює p. Нехай транспортні витрати на перевезення одиниці

продукції від підприємства A до споживача складає 10грн/км, а від підприємства B складає 6грн/км. Як буде розміщений ринок збуту, якщо витрати споживачів повинні бути однаковими?

Розв’язування. Осі координат проведемо через середину відрі-

y

M(х,у)

s₁

r = 75. y s₂

О x

C(-85,0) A(-40,0) B(40,0) x

Мал.51

зка AB . Припустимо, що споживач знаходиться в точці M ( x , y ); введемо позначення AM = s₁, BM = s₂ (мал.51). Витрати спожи-

вача на покупку одиниці виробу з підприємства A складають

p + s₁ ⋅ 10 ,а у підприємства B p + s₂ ⋅ 6 .Витрати споживачів оди-

накові, якщо p + 10s₁ = p + 6 s₂	, або 10s₁ = 6 s₂,	5s₁ = 3s₂ .
З мал.51 видно, що s₁² = ( 40 + x )² + y², або s₁ =	( 40 + x )² + y² .
Аналогічно s₂² = ( 40 − x )² + y²	, або s₂ = ( 40 − x )² + y² .

Для споживача витрати на покупку продукції одинакові, якщо 5 ( 40 + x )² + y² = 3 ( 40 − x )² + y² . Піднесемо обидві частини доквадрату і згрупуємо. Одержимо x² + y² + 170 x + 1600 = 0 і, виді-

ливши повний квадрат відносно x , маємо ( x + 85 )² + y² = 5625 . Це

нормальне рівняння кола, центр якого знаходиться на осі абсцис з абсцисою “– 85”, а радіус кола r = 75.

Для споживачів, які знаходяться на цьому колі, витрати на по-купку виробу одинакові. Для споживачів, які знаходяться поза ко-лом , витрати на покупку продукції менші на підприємстві B , а для

споживачів, які знаходяться всередині кола – на підприємстві A. Значить ринок буде розподілений так:

а) споживачі, які знаходяться всередині кола, будуть закупля-ти дані вироби на підприємстві А;

б) для споживачів, які знаходяться на колі, однаково на якому підприємстві будуть проводитися закупки;

в) споживачі, які знаходяться поза колом, будуть закупляти вироби на підприємстві В.

Читайте також:
V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за відповідний період часу.
В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
Вивід основного рівняння фільтрації
Використання рівняння номінальних витрат за моделлю COCOMO II
ВПРАВА 2. Утворіть де можливо, форми ступенів порівняння від поданих прикметників.
Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
Гіпербола та її рівняння
Головне рівняння відцентрового насоса. Теоретичний напір.
Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.

Переглядів: 3065

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Криві другого порядку | Еліпс і його рівняння

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.