Найменше та найбільше значення функції на відрізку

За теоремою Вейєрштраса неперервна функція на замкнутому відрізку [a ,b] досягає свого найбільшого і найменшого значення. Ці

значення функція може досягти на одному з кінців відрізка або все-редині відрізка. Тому задачу знаходження найбільшого і найменшо-го значень функції на відрізку [a ,b] розв’язують так:

1). Знаходять похідну, і прирівнявши її до нуля, знаходять критичні точки першого роду.

2). Обчислюють значення функції в усіх критичних точках, що належать проміжку [a ,b] і значення функції на кінцях відрізка.

3). Серед цих значень вибирають найбільше і найменше зна-чення.

Зауваження. Якщо всередині проміжку функція має тількиодну критичну точку і досягає в ній максимуму, то він буде найбі-льшим значенням, а якщо досягає в ній мінімуму, то він буде най-меншим значенням.

Приклад.Знайти найбільше і найменше значення функціїy = 2 x³ − 3 x² − 12 x + 3 на проміжку[− 2,1].

Розв’язування. Знаходимо похіднуy′=6 x²−6 x−12.

Прирівнявши похідну до нуля, знаходимо критичні точки першого роду: 6 x² − 6 x − 12 = 0 ,

x² − x − 2 = 0 ,

x₁ =−1; x₂ = 2.

Оскільки точка x₂ = 2 не входить в даний проміжок, її до уваги не беремо. Обчислюємо значення функції:

y( −2 ) = 2( −2 )³ − 3( −2 )² − 12( −2 ) + 3 =−16 − 12 + 24 + 3 =−1; y( −1 ) = 2( −1 )³ − 3( −1 )² − 12( −1 ) + 3 =−2 − 3 + 12 + 3 = 10;

y( 1 ) = 2 ⋅ 1³ − 3 ⋅ 1² − 12 ⋅ 1 + 3 = 2 − 3 − 12 + 3 =−10.

Отже, найбільше значення функції y = 10 в точці x = −1, а най-менше значення y = −10 в точці x = 1.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.	\|	Приклади задач оптимізації з економічним змістом

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.