Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца.

 

Одним з важливих моментів цього розділу є знаходження зв’язку між визначеним і невизначеним інтегралами.

Невизначений інтеграл f ( x )dx - це функція, а визначений інте-

 

b

грал f ( x )dx - число. Який між ними зв’язок? Якщо величину b

a

 

х

замінити змінною x і розглянути f ( t )dt = Ф(х) , як функцію ,

 

а

 

то для цього інтеграла виконується теорема, про властивість визна ченого інтеграла із змінною верхньою межею.

 

ТЕОРЕМА 15. Якщо функція f ( x ) неперервна на[a ,b],

 

x

то похідна визначеного інтегралаf ( t )dt з змінною верхньою

a

 

межею х по цій межі дорівнює значенню підінтегральної

 

x

функції при t=x , тобто (f ( t )dt)'=f ( x ).(6.39)

a

 

Доведення.Розглянмо


 

у А В  
   


x

y=f(x) функцію Ф(х) = f ( t )dt ,

a


 

Ф

 

С

 

0 а х

 

Мал. 4

 

СВВ1С1.АлеФ( х+


В1

 

Ф

 

С1

 

х+ х

 

х ) =аx+ x


 

де f(t) –неперервна на [a,b] функція. Доведемо, що Ф(х) має

похідну Ф′( х ) = f ( x ). Задамо

 

  змінній х приріст х. Тоді Ф(х)  
х буде мати приріст  
Ф = Ф( х + х ) Ф( х ) ,  

 

який на малюнку 4 зображається площею криволінійної трапеції

x

f ( t )dt ,Φ( х )= f ( t )dt .

a


 

x + xx

Тому ΔΦ = f ( t )dt f ( t )dt .

aa


 

 


х+ х x x+ x

На основі теореми (11) одержимо f ( t )dt = f ( t )dt + f ( t )dt .

aax

x + x

Значить ΔΦ = f ( t )dt . Застосовуючи теорему (14), знаходимо

x

 

x + x

ΔΦ= f ( t )dt =[( x + x ) x] f ( c ) = x f ( c ),

x

де x < c < x+ x . Звідси випливає що ΔΦ = f ( c ) . (6.40)

x

 

Спрямуємо х до нуля. Тоді + х) буде прямувати до х, а зна-

 

чить і с прямуватиме до х. Внаслідок неперервності f(x), одержимо

lim f ( c ) = lim f ( c ) = f ( x ) .              
x →0   c→ x              
Переходячи   до границі в   рівності (6.40), одержимо  
lim ΔΦ= lim f ( c ) = f ( x ) .Тобто Ф( x ) = f ( x ).  
x →0 x x →0              
              x    
    x       d[ f ( t )dt]    
Але Ф(х) = f ( t )dt , а тому = a   = f ( x ).  
dx dx  
    a        
                   
  Проте, базовою при обчисленні визначеного інтеграла, є на-  
ступна теорема.              
  ТЕОРЕМА 16.(Ньютона-Лейбніца).Визначений інтеграл  

від неперервної функції f ( x ) дорівнює різниці значень її перві-сної F ( x ) при x=b і , x=a де a і b -нижня і верхня межі інте-

 




Переглядів: 1656

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Геометричний зміст визначеного інтеграла. | Грування, тобто має місце формула

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.