Теоретичні відомості

На реальні коливні системи завше діють сили опору середовища та сили тертя. На їх подолання коливна система витрачає надану їй енергію. Тому амплітуда коливань з часом буде зменшуватись. Такі коливання називаються загасаючими. Через деякий час вони припиняються.

На таку коливну систему (наприклад, пружинний маятник) в деякому середовищі будуть діяти сили пружності і опору , де k – коефіцієнт жорсткості пружини, а r – коефіцієнт опору (для малих швидкостей залежність F_о(υ) має лінійний характер). Тоді ІІ закон Ньютона матиме вигляд:

. (16.1)

Спроектувавши дане рівняння на напрям руху, отримаємо:

-kx – rυ = ma . (16.2)

Враховуючи, що υ = , a = , отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань:

. (16.3)

В загальному вигляді диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

, (16.4)

а його розв’язок:

, (16.5)

де (16.6)

– амплітуда загасаючих коливань (рисунок 16.1), β = r/2m – коефіцієнт загасання, – циклічна частотазагасаючих коливань – власна циклічна частота, – початкова фаза.

Швидкість загасання коливань характеризується логарифмічним декрементом загасання λ – відношенням амплітуди коливань в момент часу до амплітуди коливань в момент часу :

. (16.7)

Для більшої точності визначення значення λ порівнюють амплітуди не через час , а через , тобто через повних коливань. Якщо амплітуда змінилася в разів, то

. (16.8)

Тоді значення коефіцієнта загасання

, (16.9)

а період загасаючих коливань визначається із співвідношення

. (16.10)

Зверніть увагу, що: 1) загасаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними – внаслідок зменшення амплітуди коливання повторюються не абсолютно точно; 2) період коливань тіла у в’язкому середовищі більший, ніж період його власних коливань; 3) коли опір середовища великий, коливання не виникають, зміщене тіло повільно повертається у вихідне положення рівноваги.

Добротністю коливної системи називається величина

. (16.11)

Враховуючи (16.10), отримаємо:

. (16.12)

Щоб коливання не загасали, до системи потрібно підводити енергію ззовні. Найкраще це робити дією зовнішньої періодичної змінної сили:

. (16.13)

Таку силу називають вимушуючою, а коливання, що виникають під її дією, вимушеними.

Тоді другий закон Ньютона дещо зміниться:

, (16.14)

а диференціальне рівняння вимушених коливань матиме вигляд:

. (16.15)

Розв’язком даного рівняння є

, (16.16)

де . (16.17)

Рисунок 16.2

Тобто вимушені коливання є гармонійними, частота яких дорівнює частоті вимушуючої сили. Амплітуда вимушених коливань (рисунок 16.2) залежить не тільки від амплітудного значення вимушуючої сили, а й від її частоти. Для певного значення частоти вимушуючої сили ω_р амплітуда вимушених коливань різко зростає, досягаючи максимального значення. Таке явище називається резонансом.

Із умови мінімуму підкореневого виразу в (16.18) отримаємо

. (16.19)

Підставляючи (16.18) у (16.17), знайдемо резонансне значення амплітуди

. (16.20)

Якщо опір середовища малий – ( >> ), то . Тоді амплітуда вимушених коливань стає дуже великою.

Таке явище резонансу в механіці може спричинити руйнування споруд і машин. Наприклад, періодичні поштовхи від поршневих машин, силових валів турбін, гребних гвинтів і пропелерів передаються на фундаменти чи частини машин та механізмів. Тут резонанс дуже небезпечний.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Послідовність виконання роботи	\|	Послідовність виконання роботи

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.