Малюнок № 11.4.

Як же ознайомити школярів з першою текстовою задачею на знаходження невідомого за двома різницями? – аналіз методичної літератури (роботи М.В.Богдановича, Ю.М.Колягіна, А.А.Свєчнікова, Л.М.Скаткіна та ін.) дозволяє твердити, що зробити це можна двома способами: а) ввести її в готовому вигляді; б) скласти її із двох простих. Якщо рівень математичної підготовку класу високий і учні у достатній мірі володіють уміннями утворювати складену задачу із простих, то слід використовувати другий спосіб. Використовуючи другий спосіб, вчитель повинен провести таку роботу: запропонувати розв’язати дітям дві простих задачі: 1) Перший покупець купив 5 м тканини, заплативши за неї 90 гривень. Скільки коштує 1 метр тканини?; 2) Перший покупець купив на 4 м тканини більше, ніж другий, заплативши за неї на 72 гривні більше, ніж другий. Скільки коштує 1 м такої тканини? Після того, як учні розв’язали кожну задачу, вчитель пропонує учням скласти нову, використовуючи такі дані: 9 м, 5 м, 72 гривні і запитання другої задачі. Склавши разом з учнями задачу, вчитель пропонує кільком дітям повторити задачу: “Перший покупець купив 9 м тканини, а другий – 5 м такої самої тканини. Перший покупець заплатив за неї на 72 грн більше, ніж другий. Скільки коштує 1 м тканини?”, а потім приступає до аналізу задачі Його для задач цього типу краще проводити синтетичним способом, тобто від умови до запитання.

З цією метою вчитель ставить перед дітьми такі запитання: скільки метрів тканини купив перший покупець? – 9 м. Скільки метрів тканини купив другий покупець? – 5 м. Що можна визначити за цими даними? – тут можливі три варіанти в принципі правильних відповідей учнів: а) скільки метрів тканини купили обидва покупці разом; б) на скільки метрів тканини менше купив другий покупець, ніж перший; в) на скільки метрів тканини більше купив перший покупець, ніж другий. Якщо вчитель спочатку одержить перші два варіанти відповідей, то він повинен запитати: а що ще можна визначити за цими даними? Після того, як одержано потрібну для розв’язання задачі відповідь, вчитель запитує дітей: що можна визначити, знаючи на скільки більше метрів тканини купив перший покупець і знаючи, що він заплатив на 72 гривні більше? – ціну 1 м тканини. Для того, щоб зрозуміти наскільки учні усвідомили розв’язання задачі, вчитель повинен запитати дітей: що означають 72 гривні? Після цього слід спробувати з’ясувати відповідь і на таке запитання: яку вартість позначають 72 гривні? – вартість тих метрів тканини, на скільки більше купив її перший покупець. Навіть, якщо школярі не дадуть такої відповіді, то після розв’язання задачі вчитель зобов’язаний одержати відповідь на нього чи підвести дітей до такої відповіді. Вона свідчитиме про усвідомлення учнями задачі. Пропонуємо студентам виконати завдання № 32 для самостійної роботи, щоб набути умінь проводити складання плану розв’язання задачі та оформляти запис.

Ознайомивши учнів із задачами цього виду, вчитель приступає до формування умінь розв'язувати ці задачі. З цією метою поступово вводяться задачі цього виду з іншими групами величин, завдання на складання задач за коротким записом, розв'язування цих задач алгебраїчним методом, тобто складанням рівняння, завдання на порівняння складених задач. Прикладом останнього завдання може бути таке: складіть задачі за коротким записом та порівняйте їх (див. таблицю № 11.30.).

Таблиця № 11.30.

І задача	ІІ задача
Ціна	Кількість	Вартість	Ціна	Кількість	Вартість
Однакова	15 машин	30 грн	Однакова	15 машин	? на 10 грн більше
10 машин	?	10 машин	?

Наступним видом задач будуть задачі на знаходження середнього арифметичного. Цілком зрозуміло, що перед введенням задач на знаходження середнього арифметичного слід сформувати у школярів поняття про нього. Як відомо, під середнім арифметичним кількох чисел розуміють суму цих чисел, поділену на їх кількість. Аналіз системи задач підручників з математики для початкових класів дозволяє твердити, що для знаходження середнього арифметичного використовуються задачі на знаходження середньої врожайності, середньої швидкості, середньої маси тощо. Отже, підготовча робота до ознайомлення дітей із складеними задачами на знаходження середнього арифметичного буде включати в себе: 1) формування уявлень учнів про середнє арифметичне; 2) формування уміння його знаходити; 3) розв'язування вправ на знаходження середнього арифметичного (наприклад, середнім арифметичним чисел 4, 6, 8, 10, 12 буде число (4+6+8+10+12):5=8); 4) виведення та засвоєння правила знаходження середнього арифметичного.

Безпосередньо на уроці, де діти ознайомлюються із задачами цього виду, потрібно розглянути кілька вправ на знаходження середнього арифметичного та на залежність між величинами, про яку буде йтися у новій задачі. Ознайомлення дітей із задачами на знаходження середнього арифметичного відбувається шляхом розгляду готової задачі. Покажемо це на прикладі такої задачі “Велосипедист 2 год їхав із швидкістю 16 км/год, 4 год – із швидкістю 15 км/год і 5 год – із швидкістю 19 км/год. З якою середньою швидкістю їхав велосипедист? Враховуючи зміст такої задачі безпосередньо перед її введенням, вчитель повинен повторити: 1) зв’язок між швидкістю, часом і відстанню; 2) правило знаходження відстані, коли відомо швидкість і час; 3) правило знаходження середнього арифметичного. Після того, як діти засвоїли зміст задачі, а вчитель це перевірив, приступають до її аналізу, який, як свідчить вивчення методичної літератури, потрібно проводити аналітичним способом. Зробити це слід з допомогою бесіди: що необхідно знати, щоб дати відповідь на запитання задачі? – загальну відстань і загальний час. Що із цих даних нам невідомо? – ні час, ні відстань. Що необхідно знати, щоб визначити загальну відстань, яку проїхав велосипедист? – відстань, яку він проїхав зі швидкістю 16 км/год, 15 км/год і 19 км/год? Що необхідно знати, щоб визначити, яку відстань проїхав велосипедист зі швидкістю 16 км/год? – швидкість і час. Чи відомі нам ці дані? – так. Що необхідно знати, щоб визначити, яку відстань проїхав велосипедист зі швидкістю 15 км/год? – швидкість і час. Чи відомі нам ці дані? – так. Що необхідно знати, щоб визначити, яку відстань проїхав велосипедист зі швидкістю 19 км/год? – швидкість і час. Чи відомі нам ці дані? – так. Що необхідно знати, щоб визначити скільки часу був у дорозі велосипедист? – скільки часу він їхав зі швидкістю 16 км/год, 15 км/год і 19 км/год. Чи відомі нам ці дані? – так. Провівши аналіз задачі, вчитель пропонує сильним дітям або самостійно розв’язати задачу різними способами (Якими?!), або записати її розв’язання чи по діях, чи по діях з коротким поясненням, чи виразом.

З рештою учнів вчитель складає план розв’язання, а потім розв’язує її. Наприклад: що будемо визначати у першій дії? – відстань, яку проїхав велосипедист зі швидкістю 16 км/год. Як це будемо робити? – швидкість 16 км/год помножимо на час 2 год. Що будемо визначати у другій дії? – відстань, яку проїхав велосипедист зі швидкістю 15 км/год. Як це будемо робити? – швидкість 15 км/год помножимо на час 4 год. Що будемо визначати у третій дії? – відстань, яку проїхав велосипедист зі швидкістю 19 км/год. Як це будемо робити? – швидкість 19 км/год помножимо на час 5 год. Що будемо робити у четвертій дії? – визначати загальну відстань, яку велосипедист провів у дорозі. Як це будемо робити? – до відстані, яку він їхав зі швидкістю 16 км/год, додамо відстань, яку він їхав зі швидкістю 19 км/год, і додамо відстань, яку він їхав зі швидкістю 15 км/год. Що будемо робити у п’ятій дії? – визначати загальний час велосипедиста у дорозі. Як це будемо визначати? - до часу, який він їхав зі швидкістю 16 км/год, додамо час, який він їхав зі швидкістю 15 км/год та додамо час, який він їхав зі швидкістю 19 км/год. Що будемо визначати у шостій дії? – середню швидкість руху велосипедиста. Як це будемо робити? – загальну відстань поділимо на загальний час. Різні способи запису розв’язання задачі представлено у таблиці № 11.31. Після цього розпочинається робота з формування вмінь розв'язувати задачі цього виду, яка продовжується до закінчення навчання у четвертому класі.

Таблиця № 11.31.

Розв’язання задачі по діях	Розв’язання задачі по діях з коротким поясненням	Розв’язання задачі виразом
1) 16·2=32 (км) 2) 15·4=60 (км) 3) 19·5=95 (км) 4) 32+60+95=187 (км) 5) 2+4+5=11 (год) 6) 187:11=17 (км/год) Відповідь: середня швидкість велосипедиста 17 км/год.	1) 16·2=32 (км) – відстань, яка пройдена зі швидкістю 16 км/год. 2) 15·4=60 (км) – відстань, яка пройдена зі швидкістю 15 км/год. 3) 19·5=95 (км) – відстань, яка пройдена зі швидкістю 19 км/год. 4) 32+60+95=187 (км) – загальна відстань. 5) 2+4+5=11 (год) – загальний час руху. 6) 187:11=17 (км/год) Відповідь: середня швидкість велосипедиста 17 км/год.	(16·2+15·4+19·5):(2+4+5)=17 (км/год) Відповідь: середня швидкість велосипедиста 17 км/год.

Аналіз системи текстових задач підручника з математики для 4 класу свідчить, що там зустрічаються ускладнені задачі на знаходження четвертого пропорційного або на складне правило трьох, або на подвійне зведення до одиниці. Наприклад: “Шість косарок за 14 годин скосили 84 гектари трави. Скільки гектарів трави скосять 2 косарки за 6 годин?”. Відповідно до вимог державного освітнього стандарту та навчальної програми з математики ознайомлення учнів із задачами цього виду носить яскраво виражений особистісно-зорієнтований характер, бо вказаними документами не ставиться завдання навчити всіх школярів розв'язувати такі задачі. Сильніших учнів слід навчити розв'язувати такі задачі різними способами з допомогою послідовного зведення до одиниці. Для того, щоб виконати таке завдання, вчитель повинен навчити школярів встановлювати зв’язки між даними і шуканим, а у відповідності до цього обирати, обґрунтовувати та виконувати арифметичні дії. ТМО навчання учнів розв'язувати такі задачі дозволяють твердити, що центральною ланкою вміння розв’язувати задачі даного виду, яким мають оволодіти діти, є засвоєння зв’язків між даними і шуканою величиною. Щоб досягнути успіху у відповідному встановленні зв’язків між величинами, які містять дані задачі, вчитель має дотримуватися при навчанні розв’язувати задачі на подвійне зведення до одиниці таких загальновизнаних етапів: 1) підготовчого, основною метою якого є актуалізація опорних знань, умінь і навичок школярів; 2) ознайомлення із розв’язуванням задач; 3) формування уміння розв’язувати такі задачі. Перейдемо до характеристики кожного із названих етапів.

Які ж знання, уміння й навички повинен актуалізувати вчитель, щоб усунути зайві труднощі при навчанні учнів розв'язувати задачі на складне правило трьох? – 1) знання про взаємозв’язок між основними групами величин, які зустрічатимуться в задачах цього виду; 2) уміння виконувати скорочений запис тексту задачі у таблицю; 3) знання про способи міркувань, які використовуються при встановленні зв’язку шуканої величини з даними; 4) вміння коментувати зміст отриманих при розв’язанні задачі результатів; 5) знання про спосіб міркування, який використовується при виборі арифметичних дій для знаходження значень проміжних і шуканої величин; 6) уміння розв'язувати задачі різними способами; 7) знання про спосіб міркування, який використовується при обґрунтуванні вибору арифметичної дій; 8) уявлення про прямо пропорційну залежність між величинами; 9) уміння аналізувати задачі аналітичним і синтетичним способом.

Яка ж система вправ передбачена у підручниках для підготовки до ознайомлення дітей із задачами на складне правило трьох? – аналіз підручників з математики для початкових класів і методичних посібників для вчителів дозволяє віднести до неї наступні:

1) завдання, основним призначенням яких є формування уявлень про величини та розкриття взаємозв’язку, який існує між групами величин;

2) вправи, які спрямовані на формування у дітей уміння записати умову задачі коротко різними способами, зокрема у таблицю;

3) завдання, в яких вимагається знайти різні способи розв’язання задачі або записати саме розв’язання різними способами;

4) вправи, які призначені для формування уміння складати план розв'язування задачі або розв’язати задачу за поданим планом;

5) завдання, основним призначенням яких є формування уміння розв'язувати різноманітні складені задачі;

6) вправи, в яких слід розв’язати задачу, що готує школярів до сприймання й розуміння способу розв’язування задач на складне правило трьох. Прикладом такої задачі є наступна “Два трактора за 4 год роботи витратили 200 л бензину. Скільки палива витратить один трактор за 1 год?”. Основне призначення таких вправ полягає в тому, щоб детально розкрити перед учнями спосіб скороченого запису тексту задачі в таблиці, а також спосіб міркування при встановленні зв’язку шуканої величини з даними і при виборі арифметичних дій для знаходження значень проміжних і шуканої величини та його обґрунтування. Крім того, за допомогою таких підготовчих вправ розкривається суттєва ознака задач цього виду: спосіб їх розв’язання з допомогою подвійного зведення до одиниці.

Покажемо систему роботи вчителя при розгляді останньої з наведених підготовчих вправ: “Два трактора за 4 год роботи витратили 200 л пального. Скільки палива витратить один трактор за 1 год?”. Для учнів, яким важко усвідомити умову задачі на слух, слід запропонувати скорочений запис умови, представлений у таблиці № 11.32. Для того, щоб перевірити, як діти засвоїли зміст задачі, проводимо таку бесіду: скільки тракторів працювало? - два. Скільки часу працювали трактори? - 4 год. Скільки літрів пального витратили два трактори за 4 год? - 200 л. Що слід знайти у задачі? - скільки пального витратить один трактор за 1 год.

Таблиця № 11.32.

Витрата пального трактором за одну годину	Кількість тракторів	Час роботи	Загальна витрата пального
Однакова		4 год	200 л

Для того, щоб навчити школярів шукати шлях розв’язання задачі, вчитель з метою особистісної орієнтації навчального процесу повинен вчити учнів розмірковувати, проговорюючи вголос з логічними наголосами судження, що відображають зв’язки і залежність між величинами. Спочатку вчителеві необхідно продемонструвати зразок такого міркування: “Якщо за 4 год 2 трактори витратили 200 л пального, то 1 трактор за той самий час (за 4 год) витратить пального у два рази менше, тобто слід кількість пального поділити на 2. Якщо один трактор за 4 години витрачає певну, поки що невідому кількість пального, то за 1 годину він витратить у чотири рази менше літрів пального, тобто слід кількість пального, витраченого одним трактором за 4 год, поділити на 4.” (У тексті міркування підкреслено слова, на яких слід робити логічний наголос.). Для учнів, які вміють проводити міркування, необхідно провести аналіз задачі синтетичним способом, тобто від умови до запитання. З цією метою також слід використати бесіду: що можна визначити, знаючи, що 2 трактори за 4 години витратили 200 л пального? – тут можливі такі варіанти відповідей: а) скільки пального витратить один трактор за 4 години; 2) скільки пального витратять два трактори за 1 год. Оскільки обидві відповіді правильні, то від неї залежатиме наступне запитання вчителя. Пояснення сутності роботи вчителя покажемо на прикладі першої відповіді, а студентам пропонуємо виконати завдання № 34 для самостійної роботи.

Одержавши відповідь “скільки пального витратить один трактор за 4 години”, вчитель проводить подальшу роботу наступним чином: що можна визначити, знаючи кількість пального, витраченого одним трактором за 4 години? – кількість пального, витраченого одним трактором за одну годину. Після проведеного аналізу складається план розв’язання задачі: що будемо визначати у першій дії? – кількість пального, витраченого одним трактором за 4 години. Як це будемо робити? – загальну кількість пального 200 л поділимо на кількість тракторів. Що будемо визначати у другій дії? – кількість пального, витраченого одним трактором за одну годину. Як це будемо робити? – кількість пального, витраченого одним трактором за 4 години поділимо на кількість годин 4. На основі наведеного міркування слід записати розв’язання задачі із стислим поясненням дій, яке представлене у таблиці № 11.33. Вчитель має звернути увагу учнів на те, що, починаючи розмірковувати, ми значення однієї величини залишали незмінними (при першому варіанті відповіді на перше запитання аналізу це був час 4 год, а до одиниці ми зводили іншу задану величину - кількість тракторів). Пізніше, на другому етапові міркування ми до одиниці будемо зводити ту величину, яка спочатку була незмінною, тобто час.

Таблиця № 11.33.

1) 200:2=100 (л) – пального витратить один трактор за 4 години. 2) 100:4=25 (л) - пального витратить один трактор за 1 годину. Відповідь: 25 літрів пального витратить один трактор за 1 годину.

Для дітей, які не мають розвиненого абстрактного мислення, слід шлях міркування записувати символічно у таблицю (див. таблицю № 11.34.). У цій же таблиці доцільно записати і другий шлях міркування, що відповідає другому варіантові відповіді на перше запитання синтетичного аналізу розглядуваної задачі. За такого міркування незмінною спочатку залишилася кількість тракторів, а до одиниці першим зводився час, а потім до одиниці зводиться інша величина – кількість тракторів. Зразок міркування може бути приблизно таким: “якщо 2 трактори за 4 год. витратили 200 л пального, то ці ж 2 трактори за 1 год. витратять пального у чотири рази менше, тобто потрібно загальну кількість пального поділити на 4 (відповідно до індивідуальних особливостей учнів слід для деяких з них використати таку наочну опору: 200:4=— (л)). Якщо 2 трактори за 1 годину витрачають поки ще невідому кількість пального — л, то один трактор за той самий час, 1 годину, витратить пального у два рази менше, тобто необхідно — : 2 = ∆ (л)”.

Психологами обґрунтовано, що при проговорюванні суджень під час міркування для одних дітей слід оперувати числовими значеннями величин, а для інших доцільно оперувати їхнім змістом: кількість пального, кількість тракторів, кількість часу тощо. Для школярів другої групи необхідно використовувати у таблицях символічні позначення проміжних значень величин. Так, у таблиці № 11.34.використовуються символи —, ∆, де — (л) стосовно першого способу розв’язання задачі означає кількість пального, витраченого одним трактором за 4 години роботи, а символ ∆ (л) кількість пального, витраченого одним трактором за одну годину роботи. За таблицею № 11.34.легко провести аналіз процесу міркування під час розв’язування задачі. Так, наявність числа 1 в першому рядку кожного з шляхів міркування свідчить про зведення до одиниці одної з величин – кількості тракторів у першому шляху міркування та часу роботи у другому шляху міркування. Наявність числа 1 у другому рядку кожного з міркувань свідчить про зведення до одиниці другої величини – часу роботи в першому міркуванні і кількості тракторів у другому. Отже, в кожному випадку значення шуканої величини знаходять способом подвійного зведення до 1.

Таблиця № 11.34.

Витрата пального трактором за одну годину	Кількість тракторів	Час роботи	Загальна витрата пального
Однакова - ?		4 год	200 л
Перший шлях міркувань		4 год 1 год	200 : 2 = — (л) — : 4 = ∆ (л)
Другий шлях міркувань		1 год 1 год	200 : 4 = — (л) — : 2 = ∆ (л)

Саме за допомогою таблиць такого виду, як таблиця № 11.34., можна добитися від учнів усвідомлення суті даного способу розв’язування задач. Вчитель має показати обидва шляхи міркувань з тим, щоб учні впевнилися: задачу можна розв’язувати двома способами, а при знаходженні значень проміжних і шуканої величин слід спиратися на прямо пропорційну залежність між величинами, які характеризують ситуацію, описану в тексті задачі. Діти повинні свідомо формулювати судження типу: “Якщо кількість тракторів збільшилась (зменшилась) у кілька разів, то у стільки ж разів при однаковому часі роботи збільшиться (зменшиться) кількість пального; якщо кількість тракторів не змінюється, то чим більше (менше) часу вони працюватимуть, тим більше (менше) літрів пального вони витратять. Отже, якщо одна величина незмінна, то із збільшенням (зменшенням) другої величини в кілька разів значення третьої величини збільшується (зменшується) в стільки ж разів”. Рівень сприймання і розуміння дітьми даного способу слід перевірити, запропонувавши їм самостійно відтворити шляхи міркувань, обґрунтувати зв’язки між величинами, вибір арифметичних дій, зміст отриманих результатів їх виконання.

Наведена задача є підготовчим етапом до розв’язання задачі на складне правило трьох, оскільки за допомогою даної задачі існує можливість розкриття учням першої суттєвої ознаки задач даного типу, яка характеризує спосіб їх розв’язання, а саме подвійного зведення до одиниці. В умові підготовчих задач задано лише по одному значенню кожної з трьох величин і вимагається знайти значення четвертої, яку легко встановити за змістом задачі. Вона є сталою, тобто відіграє роль коефіцієнта пропорційності. Власне задачі на складне правило трьох мають складну структуру, а звідси складнішим є процес їхнього розв’язання. У задачах даного типу задано по два значення кожної із двох величин і одне значення третьої величини, а вимагається знайти друге значення третьої величини за умови, що четверта величина є сталою. Слід зауважити, що про четверту величину в тексті задачі часто нічого не сказано, тобто вона задана у неявній формі. Тому вчитель повинен пояснити учням, що четверту величину слід мати на увазі, бо вона існує і виступає в ролі коефіцієнта пропорційності між величинами. Факт її існування і зв’язок з даними величинами випливає з контексту задачі.

ТМО навчання учнів розв'язувати текстові задачі на складне правило трьох розглянемо на прикладі такої задачі“За 5 днів 6 машин витягнули 2400 метрів дроту. Скільки метрів дроту витягнуть 16 таких машин за 20 днів?”. Враховуючи індивідуальні особливості учнів, роботу з короткого запису умови слід провести по-різному. Одні учні виконують його самостійно, а з рештою школярів необхідно провести наступну роботу: про які величини йдеться в задачі? – про кількість машин, про час, виражений у днях, про кількість витягнутого дроту, яка виражена у метрах. Що означає те, що машина витягнула дріт? - що вона виконувала певну роботу з витягування дроту. Що будемо називати виконаною роботою? - кількість витягнутого дроту. Які ж величини слід записати у таблицю? – кількість машин, час роботи та виконана робота. А чи є ще в задачі якась величина? – якщо учні самостійно не назвуть її, то слід запитати: що означає чи як ви розумієте словосполучення “таких машин?” - це означає, що всі машини однакові, тобто за однаковий час кожна машина витягує однакову кількість дроту – виконує однакову роботу. А це означає, що й за один день кожна з машин виконує однакову роботу. Кількість дроту, яку витягує одна машина за один день, називають продуктивністю праці. Яка ж четверта величина задана у цій задачі неявно? - продуктивність праці, яка виступає коефіцієнтом пропорційності. Отже, таблиця скороченого запису тексту задачі матиме вигляд, представлений у таблиці № 11.35.

Таблиця № 11.35.

Продуктивність праці	Кількість машин	Час	Виконана робота
Однакова - ?		5 днів 20 днів	2400 м ?

Приступаючи до аналізу задачі, вчитель сам повинен бачити тут чотири шляхи міркування, які приводять до знаходження значень шуканої величини, а тому кожного разу слід скеровувати мислення учнів у те русло, яке приводить до нового способу розв’язання задачі. При розв'язуванні задач цього типу можна відповідно до індивідуальних особливостей дітей використати з метою особистісної орієнтації і аналітичний (від запитання до умови), і синтетичний (від умови до запитання) способи аналізу задачі. Учні, які в змозі самостійно провести міркування, повинні зробити це. Їхні міркування аналітичним способом можуть бути приблизно такими: щоб знайти скільки метрів дроту витягнуть 16 машин за 20 днів, необхідно знати скільки метрів дроту витягнуть 16 машин за 1 день. Щоб знати, скільки дроту витягнуть 16 машин за 1 день, слід визначити, скільки дроту витягне 1 машина за 1 день. Якби ми знали, яку роботу виконає 1 машина за 1 день, то за 20 днів вона виконає роботи у 20 разів більше, а тому її можна знайти дією множення. Якби ми знали, яку роботу виконає 1 машина за 20 днів, то 16 таких машин виконають роботи у 16 разів більше. Але нам невідомо, яку роботу виконає 1 машина за 1 день. Про це можна дізнатися з умови задачі. Якщо 6 машин за 5 днів витягували 2400 метрів дроту, то одна машина за той самий час (5 днів) виконає роботи у шість разів менше, а знайти її можна дією ділення: 2400:6=—, де — - кількість метрів дроту, яку витягує 1 машина за 5 днів. Якщо одна машина за 5 днів витягує знайдену кількість дроту —, то за один день вона витягне у 5 разів менше, тобто —:5=Ñ. Тепер слід визначити скільки дроту витягує 16 таких машин за 1 день, помноживши кількість дроту, яку витягує 1 машина за 1 день, на 16, тобто Ñ·16=Æ. Знаючи, скільки дроту витягують 16 машин за один день, можна визначити, скільки дроту витягнуть 16 машин за 20 днів, помноживши кількість витягнутого дроту 16 машинами на 20, тобто Æ·20=Ä.

Сутність роботи вчителя з використанням синтетичного способу аналізу задачі повинна бути такою: що можна визначити, знаючи, що за 5 днів 6 машин витягують 2400 метрів дроту? – а) скільки дроту витягнуть 6 машин за 1 день; б) скільки дроту витягне 1 машина за 5 днів (обидва варіанта відповідей є правильними і вестимуть до двох різних способів розв'язування задачі). З метою особистісної орієнтації навчального процесу вчитель повинен запитати учнів: а чи є ще інші варіанти відповідей? Відповідно до одержаної відповіді вчитель вестиме подальшу роботу так: що можна визначити, знаючи скільки дроту витягнуть 6 машин за 1 день (при другому варіанті відповіді запитуємо дітей: що можна визначити, знаючи скільки дроту витягне 1 машина за 5 днів)? - скільки дроту витягне 1 машина за 1 день. Що можна визначити, знаючи скільки дроту витягне 1 машина за 1 день? – тут знову можливі два варіанта відповідей: а) скільки метрів дроту витягнуть 16 таких машин за 1 день; б) скільки метрів дроту витягне 1 така машина за 20 днів. Відповідно до одержаної відповіді вчитель запитує: що можна визначити, знаючи скільки метрів дроту витягнуть 16 таких машин за 1 день (скільки метрів дроту витягне 1 така машина за 20 днів)? – скільки метрів дроту витягнуть 16 таких машин за 20 днів.

Наступним етапом роботи над будь-якою задачею відповідно до ТМО є складання плану розв’язування.Провести цей етап можна у вигляді бесіди або запропонувати скласти план самостійно. Що будемо визначати у першій дії? - скільки метрів дроту витягує 1 машина за 5 днів (або скільки метрів дроту витягують 6 машин за 1 день). Як це будемо визначати? – загальну кількість витягнутого дроту поділимо на 6 (зменшимо у 6 разів) або (загальну кількість витягнутого дроту поділимо на 5 (зменшимо у 5 разів)). Що будемо визначати у другій дії? – скільки метрів дроту витягне 1 машина за 1 день. Як це будемо робити? – кількість дроту, визначеного у першій дії поділимо на 5 (або зменшимо у 6 разів). Що будемо визначати у третій дії? - скільки метрів дроту витягують 16 машин за 1 день (або скільки метрів дроту витягне 1 машина за 20 днів). Як це будемо робити? – результат, одержаний у другій дії, збільшимо у 16 разів (або результат, одержаний у другій дії, збільшимо у 20 разів). Що визначатимемо у четвертій дії? - скільки метрів дроту витягують 16 машин за 20 днів. Як це будемо робити? – результат третьої дії помножимо на 20 (або результат третьої дії помножимо на 16). Чи дали ми тепер відповідь на запитання задачі? – так. Для того, щоб деякі учні в подальшому змогли самостійно реалізувати складений план, слід записати його у таблицю так, як це представлено у таблиці № 11.36. Завдяки такому підходові доповнюватиметься таблиця скороченого запису умови, школярі бачитимуть прямо пропорційний характер зв’язків між величинами, послідовне зведення до одиниці та спосіб арифметичних дій.

Після того, як складено план розв’язування задачі, пропонуємо школярам записати її розв’язання чи по діях, чи по діях з коротким поясненням чи навіть виразом. Вказані способи розв’язання задачі представлені у таблиці № 11.37.Аналізуючи таблицю скороченого запису і розв’язування задачі, можна помітити, що для знаходження шуканого значення величини – виконаної роботи - відбулося подвійне пряме зведення до 1, тобто до 1 зводилася кожна з двох величин, для яких в умові задачі задано два значення. Коли до одиниці зводять ту величину, для якої в умові задано два значення, то цей спосіб називається способом прямого зведення до одиниці. Коли ж до одиниці зводять ту величину, для якої в умові задано одне значення, то цей спосіб називається способом оберненого зведення до одиниці. При розв’язуванні даної задачі до одиниці спочатку зводили кількість машин, що видно з першого рядка таблиці, яка ілюструє шлях міркування, а потім зводили час (кількість днів), про що свідчить другий рядок. У результаті другого зведення до одиниці дістали значення сталої величини – продуктивності праці (кількість метрів дроту, що витягує одна машина за один день.) -, яка виступає коефіцієнтом пропорційності. У цьому повинні впевнитися школярі, формулюючи такі судження; “Якщо кількість машин збільшилась у 16 раз, а час залишився незмінним (1 день), то виконана робота шістнадцятьма машинами збільшиться також у 16 раз. Якщо кількість машин незмінна (16 машин), а час (кількість днів) збільшився у 20 разів, то виконана робота цими машинам збільшиться у 20 разів”. За таблицею слід також провести навчальну роботу з вибору арифметичних дій для розв’язання задачі та обґрунтування їх змісту. Так, у першому випадку наголошуємо, що при подвійному прямому зведенні до одиниці розв’язання задач на складне правило трьох складається з чотирьох дій, де перша та друга дії – це ділення на рівні частини, а третя й четверта – однакові - це дії множення.

Таблиця № 11.36.

Продуктивність праці	Кількість машин	Час	Виконана робота
Однакова - ?		5 днів 20 днів	2400 м ?
Перший спосіб розв’язування		5 днів 1 день 1 день 20 днів	? 2400 : 6=— ? — : 5=∆ ? ∆·16=Ä ? Ä·20=Æ
Другий спосіб розв’язування		5 днів 1 день 20 днів 20 днів	? 2400 : 6 = — ? — : 5 = ∆ ? ∆ · 20 = Ä ? Ä · 16 = Æ
Третій спосіб розв’язування		1 день 1 день 1 день 20 днів	? 2400 : 5 = — ? — : 6 = ∆ ? ∆ · 16 = Ä ? Ä· 20 = Æ
Четвертий спосіб розв’язування		1 день 1 день 20 днів 20 днів	? 2400 : 5 = — ? — : 6 = ∆ ? ∆ · 20 = Ä ? Ä· 16 = Æ

Таблиця №11. 37.

І спосіб	ІІ спосіб	ІІІ спосіб	ІУ спосіб
1) 2400:6=400 (м) – дроту витягує одна машина за 5днів 2) 400:5=80 (м) – дроту витягує одна машина за 1 день 3) 80·16=1280 (м) – дроту витягує 16 машин за 1день 4) 1280·20=25600 (м) - дроту витягує 16 машин за 20 днів Відповідь: 25600 метрів дроту витягують 16 машин за 20 днів.	1) 2400:6=400 (м) 2) 400:5=80 (м) 3)80·20=1600 (м) 4) 1600·16=25600 (м) Відповідь: 25600 метрів дроту витягують 16 машин за 20 днів.	1) 2400:5=480 (м) 2) 480:6=80 (м) 3) 80·16=1280 (м) 4) 1280·20=25600 (м) Відповідь: 25600 метрів дроту витягують 16 машин за 20 днів.	(((2400:5):6)·20)·16=25600 (м) Відповідь: 25600 метрів дроту витягують 16 машин за 20 днів.

Після детального обґрунтування розв’язання задач першим способом доцільно поставити проблемне завдання: “чи можна іншим способом знайти шукане значення?”. Аналізуючи усі шляхи міркувань за таблицею, учні під керівництвом вчителя впевнюються, що у кожному випадку спочатку зводять до одиниці одну величину, а потім другу. Для кожної з величин, які зводять до одиниці, в умові задачі задано по два значення, а це означає, що виконано двічі пряме зведення до одиниці. Потрібно звернути увагу учнів на те, що незалежно від шляху міркування розв’язання складається із чотирьох дій, де перша і друга дії є діленням на рівні частини і кожна з них виражає пряме зведення до одиниці однієї з величин. Далі слід наголосити, що оскільки перші дві дії виражають пряме зведення до одиниці, то третя та четверта дії при розв’язанні задачі є діями множення. До них приводить прямо пропорційна залежність величин. Якби одна з перших дій виражала спосіб прямого зведення до одиниці, а друга – спосіб оберненого зведення до одиниці, то відповідно третя й четверта дії були б множення та ділення. Четверта дія – ділення – має характер ділення на вміщення.

Для того, щоб процес навчання мав особистісно-зорієнтований характер, слід запропонувати учням скласти обернену до даної задачу: “За 5 днів 6 машин витягнули 2400 м дроту. За скільки днів 16 машин витягнуть 25600 м дроту?”. Для того, щоб допомогти школярам виконати поставлене завдання, необхідно використати таблицю (див. таблицю № 11.38.). З таблиці видно, що при першому шляху міркування перша дія виражає обернене зведення до одиниці, а друга - пряме зведення до одиниці. У зв’язку з цим одна з наступних дій - четверта - є діленням на вміщення. При другому шляху міркування перша дія виражає пряме, а друга - обернене зведення до одиниці. Саме тому одна з наступних дій – третя - множення, а четверта - ділення. Під час аналізу таблиць, шляхів міркування, способів розв’язування задач та обґрунтування зв’язків між величинами за зразками пояснень, які демонструє вчитель, в учнів розвивається математичне мислення і мовлення. Разом з тим, свідомо засвоюються способи розв’язання задач даного типу. Пропонуємо студентам виконати завдання № 35 для самостійної роботи.

Таблиця № 11.38.

Продуктивність праці	Кількість машин	Час	Виконана робота
Однакова - ?		?	2400 м 25600 м
Перший спосіб розв’язування		? – 25600: Ä=Æ	2400:6=ðð:5=Ñ Ñ·16=Ä
Другий спосіб розв’язання		? – 25600:Ñ=ð	2400:5=Æ Æ:6=Ä Ä·16=Ñ

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ТМО навчання учнів розв'язувати типові складені задачі на знаходження четвертого пропорційного.	\|	ТМО навчання учнів розв'язувати задачі з типовим конкретним змістом та сюжетом.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.