Операції над подіями

Сумою двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в появі хоча б однієї з подій А або В, і позначають А + В (або А È В).

Сумою п випадкових подій А₁,А₂,...,А_n називають таку подію, яка полягає в появі принаймні однієї з цих подій (позначається ).

Добутком двох випадкових подій А і В назівають таку подію, яка полягає в сумісній появі обох подій А і В, і позначають А • В (або А Ç В).

Добутком п випадкових подій А₁,А₂,...,А_п називають таку подію, яка полягає в сумісній появі всіх цих подій (позначається ).

Різницею двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в виконанні події А і не виконанні події В, позначається як А – В, або А \ В.

Подію називають протилежною до події А в даному випробуванні, якщо вона відбувається, якщо не відбувається подія А, тобто = Ω – А. Очевидно, протилежні події не сумісні і утворюють повну групу подій.

Поняття суми і добутку подій можуть бути узагальнені на випадки будь-якого числа подій.

З визначення операцій додавання і множення слідують співвідношення:

1) A + А = A; A ‧ А = A ;

2) A + U = U; A ‧ U = A;

3) A+ Æ = A ; A‧ Æ = Æ;

4) A + B = B + A ; A ‧ B = B ‧ A;

5) (A + B) + C = A + (B + C); (A ‧ B) ‧ C = A‧ (B ‧ C);

6) A ‧ (B + C) = A ‧ B + A ‧ C.

Приклад 1. У ящику містяться кульки білого та чорного кольору. Навмання з нього виймають одну кульку. Подія А = {вийнято кульку білого кольору}, подія В = {вийнято кульку чорного кольору}. Сумісні чи несумісні ці події?

Розв’язання. Ці події несумісні, тому що поява події А виключає виконання події В, також події А і В утворюють повну групу події і є протилежні: = В, = А.

Приклад 2. Підкидають два гральних кубики. Нехай події А_і = {випаде і очок та першому кубику}, і = 1, 2, 3,4, 5, 6, B_j = {випаде і очок та другому кубику}, і = 1, 2, 3,4, 5, 6. Виразити через А_і,і B_j такі події:

а) сума очок на двох кубиках дорівнює п'яти;

б) випаде в сумі хоча б десять очок;

в) випаде в сумі не більше трьох очок.

Розв'язання.

а) Нехай С₁= {сума очок на двох кубиках дорівнює п’яти}. Ця подія можлива тільки тоді, коли на першому кубику випаде і очок, а та другому j очок так, щоб і + j = 5, тобто і =1, j =4, або і = 2, j = 3, або і = 3, j = 2, або і = 4, j = 1. Отже,

С₁= А₁• В₄ + А₂ • В₃ + А₃ • В₂ + А₄ • В₁.

б) Позначимо С₂ = {випаде в сумі хоча б десять очок}. Подія С₂відбудеться тоді, коли на двох кубиках у сумі випаде або 10, або 11, або 12 очок, тобто і =4, j =6 або і =5, j =5 або і =6, j = 4 або і =6, j =5 або і =5, j =6 або і =6, j =6. Отже

С₂= А₄• В₆ + А₅ • В₅ + А₆ • В₄ + А₆ • В₅. + А₆ • В₆. + А₅ • В₆.

в) Нехай Сз={випаде в сумі не більше трьох очок}. Оскільки найменша кількість очок, яка може випасти на кожному кубику, дорівнює одиниці, то подія Сз можлива лише тоді, коли сума очок на двох кубиках дорівнюватиме двом або трьом. Тому

Сз = А₁ • В₁ + А₂ • В₁ + А₁ • В₂..

Приклад 3. Два стрільці роблять постріл у мішень по одному разу. Позначимо події А = {у мішень влучив перший стрілець}, В = {у мішеньвлучив другий стрілець}. Виразити через А і В такі події: С = {два влучення в мішень} D = {жодного влучення в мішень} Е = {хоча б одне влучення в мішень} F = {лише одне влучення в мішень}.

Розв'язання. Простір елементарних подій складається з чотирьох подій

А • В, • В, А • , • .

Подія С відбудеться тоді, коли обидва стрільці влучать с мішень. Тому вона є добутком двох подій А і В. Отже С = А • В

Подія D полягає в тому, що в мішень не влучить жодний стрілець, тобто не влучить ані перший ( ), ані другий ( ). Тому D =. • .

Подія Е відбудеться тоді, коли влучить хоча б один стрілець. Це може бути толі, коли обидва стрільці влучать с мішень, або влучить перший, але не влучить другий, або не влучить перший, але влучить другий. Тоді

лець. Це може бути тоді, коли або обидва стрільці влучать у мішень, або перший влучить, другий не влучить, або перший не влучить, а другий влучить. Тому

Е = АВ + В + А , тобто Е = А + В.

Подія F полягає в тому, що перший стрілець влучить в мішень, а другий не влучить, або другий влучить, а перший не влучить. Тому

F = В + А .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Випадкові події	\|	Приклади оформлення задач до розділу

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.