Диференціал функції. Застосування диференціала в наближених обчисленнях. Геометричний зміст диференціала і його властивості. Інваріантність.

Диференціалом функції у = f(x) назив головна частина приросту функції, лінійна відносно ∆х і позначається dy = y^/_x * ∆х. Знайдемо диф функції у=х, dx= (x)^/ *∆х=∆х. Таким чином, дифер незалежної змінної х дорівнює її приросту. А тому диференціал іноді записують dy = y^/ dx.

Властивості диференціала:

1.d(c)=0

2.d(cu)=cu^/dx

3.d(u±v^/)=du±dv^/

4.d(uv)^/=vdu+udv

5.d(u/v)=(vdu -udv)/v²

Геометричний зміст диференціала:

Розглянемо функцію у = f(x) і її графік. Незай точка М(х_о;у_о) належить графіку. Через М₀ проведемо дотичну М₀Т до графіка під кутом α до додатного напрямку осі ОХ. Нехай х₀ одержав приріст ∆х. Тоді і у₀ одержав приріст ∆х. В ∆М₀NP: NP= ∆х* tg α = y^/(x₀)* ∆х= dy. Таким чином , диференціал функції- це приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) в даній точці, коли аргумент х одержує приріст ∆х.Але не завжди dy<∆y.

Тут буде графік

Інваріантність:

Відомо , що dy = y^/dx.Нехай задано функцію y=f(u), де u=u(x). Знайдемо диференціал складної функції. dy = f^/_u * u^/_xdx. dy= f^/_u*(d_u/d_x)*dx= f^/_u *d_u_{. Замітимо, що формула}має такий же вигляд, як і для простої функції. Ця властивість називається інваріантність(властивість зберігати незмінною свою форму, незалежно від того задається функція аргументом х, чи функція від функції).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Похідна складної функції	\|	Похідні вищих порядків.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.