Операція кон'юнкції висловлень.

Таблиця № 2.2. Закон подвійного заперечення.

Таблиця № 2.1. Таблиця істинності заперечення висловлення.

Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.

3. У звичайній мові для утворення речення, зміст якого є протилежним до даного, використовують частку «не» або словосполучення «неправильно, що…». Так само досить часто вони використовуються у математичних твердженнях. Цій частці чи словосполученню у математичній логіці певним чином відповідає операція заперечення, сутність якої розкриємо спочатку на такому прикладі. Розглянемо висловлення: а=„Річка Устя – притока Горині”. Це висловлення є істинним. Утворимо хибне висловлення: „річка Устя - не притока Горині” або «неправильно, що річка Устя - притока Горині». Одержане висловлення по відношенню до даного називають запереченням висловлення „а” і позначають символом „ā”. Символічний запис ā можна прочитати так: „заперечення висловлення а”, „не-а”, „неправильно, що а”. Введемо математичне означення цього поняття.

Означення: запереченням даного висловлення „а” називають таке нове висловлення „ā”, яке істинне тоді, коли висловлення а хибне, і хибне тоді – коли висловлення а істинне.

Операцію заперечення можна задати за допомогою таблиці, яку в математичній логіці називають таблицею істинності (див. таблицю № 2.1.). Таким чином, щоб отримати із даного висловлення його заперечення слід поставити перед висловленням слово „неправильно” чи поставити перед присудком частку „не”. Отже, операція заперечення досить адекватно передає зміст вживання частки „не” в практиці розмовної і писемної мови.

а	ā

А чи можна так само утворити заперечення предиката? – покажемо це на такому прикладі. Розглянемо предикат: А(х)=„х – просте число”, хÎN. Утворимо його заперечення: „неправильно, що х – просте число”. Наведемо означення цього поняття.

Означення: запереченням даного предиката А(х) називають такий новий предикат Ā(х), який визначений на тій самій множині Х і який істинний при всіх таких хÎХ, при яких предикат А(х) істинний, а хибний при всіх тих хєХ, при яких предикат А(х) істинний.

Досить важливим для математичної логіки є питання про визначення множини істинності предикатів. З’ясуємо це питання по відношенню до даного предиката А(х) і його заперечення Ā(х). Нехай Х – це область визначення предиката А(х). Позначимо через Т_А множину істинності предиката А(х), а через Т_`_А – множину істинності предиката Ā(х). Чим буде множина Т_`_А по відношенню до множини Т_А? – доповненням множини Т_А до множини Х, тобто, знаючи множину істинності Т_А предиката А(х), можна легко знайти множину істинності Т_`_А заперечення даного предиката. Отже, справедлива наступна рівність: Т_`_А=Ť_А. За допомогою діаграм Ейлера-Венна це можна зобразити так (див. діаграму № 2.3.):

Діаграма № 2.3. Множина істинності Т_`_Азаперечення даного предиката Ā(х).

Операція заперечення висловлень та заперечення предикатів підкоряються закону подвійного заперечення (див. таблицю № 2.2.). У справедливості першого із них легко переконатися, побудувавши таблицю істинності. Справедливість другого ілюструється на діаграмі Ейлера-Венна. Пропонуємо студентам переконатися в цьому самостійно, виконавши відповідні завдання для самостійної роботи.

Закон подвійного заперечення для висловлень.	Закон подвійного заперечення для предикатів.
ā=а.	Ā(х)=А(х).

4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.

4.1. За допомогою яких слів в мові з одних простих речень можна утворювати складні? – не, і, або, якщо,… то, тоді і тільки тоді, необхідно і достатньо тощо. Як же в математичній логіці із простих висловлень буде утворювати складені? – за допомогою певних операцій (одну із яких, заперечення ми вже розглянули), які певним чином відповідатимуть названим словам або словосполученням. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 - просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „і” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте і парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають кон'юнкцією (грецьк. сonjunctio” - зв'язок, союз) даних висловлень і позначають так: аÙb. Символічний запис аÙb читають так: „а і b”, або „а в кон'юнкції з b”, або „кон'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÙb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення а і b.

Інколи означення формулюють і так: «кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÙb, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне із висловлень а і b». Легко довести, що обидва ці означення рівносильні. Крім цього, означення кон'юнкції двох висловлень можна задати за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.3.).

а	в	аÙв

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.	\|	Операція кон'юнкції предикатів.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.