Студопедия
Контакти
 


Тлумачний словник

Реклама: Настойка восковой моли




Авто | Автоматизація | Архітектура | Астрономія | Аудит | Біологія | Будівництво | Бухгалтерія | Винахідництво | Виробництво | Військова справа | Генетика | Географія | Геологія | Господарство | Держава | Дім | Екологія | Економетрика | Економіка | Електроніка | Журналістика та ЗМІ | Зв'язок | Іноземні мови | Інформатика | Історія | Комп'ютери | Креслення | Кулінарія | Культура | Лексикологія | Література | Логіка | Маркетинг | Математика | Машинобудування | Медицина | Менеджмент | Метали і Зварювання | Механіка | Мистецтво | Музика | Населення | Освіта | Охорона безпеки життя | Охорона Праці | Педагогіка | Політика | Право | Програмування | Промисловість | Психологія | Радіо | Регилия | Соціологія | Спорт | Стандартизація | Технології | Торгівля | Туризм | Фізика | Фізіологія | Філософія | Фінанси | Хімія | Юриспунденкция

Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).

Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.

7. Визначення операції віднімання на множині натуральних чисел можна провести двома способами: 1) на основі операції віднімання множин; 2) як дії, оберненої до дії додавання. Для введення першого означення розглянемо скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b і ВÌА. Тепер приймемо таке означення: “Різницею натуральних чисел а і b називається число елементів у доповненні множини В до множини А, тобто а-b=n(А\В)”. Число а називається зменшуваним, число b – від’ємником, число а-b – різницею чисел а і b. Операція знаходження різниці чисел називається операцією віднімання. Зв'язок дій віднімання та додавання проявляється в тому, що: по-перше, знаючи суму і один доданок, можна знайти інший доданок; по-друге, результат дії віднімання перевіряється дією додавання. Отже, ці дії є взаємно оберненими. Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність різниці, то потрібно довести наступні теореми:

Теорема 4: різниця двох натуральних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли а³b.

Доведення:

Розглянемо скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b, АÇВ=Æ і ВÌА. Тоді n(А)³n(В), тобто а³b.Оскільки А\А=Æ, то n(А\А)=n(А)-n(А)=n(Æ), тобто а-а=0. Це означає, що при а=а різниця а-а існує. З іншого боку: оскільки А=ВÈ(А\В) і ВÇ(А\В)=Æ, то n(А)=n(ВÈ(А\В))=n(В)+n(А\В). Тоді а=b+(а-b). Отже, при а>b різниця також існує. Теорему доведено.

Остання рівність дає змогу прийняти інше означення різниці: “Різницею двох натуральних чисел а і b називається таке третє число а-b, яке в сумі з числом b дає нам число а”. Зазначимо, що обидва означення рівносильні та що дія віднімання є оберненою до дії додавання.

Теорема 5: якщо різниця натуральних чисел існує, то вона єдина.

Доведення:

Доведення теореми проведемо методом від супротивного, тобто припустимо, що існує не одна, а принаймні дві різниці. Отже, нехай а-b=с1 і а-b=с2, причому с1¹с2. За означенням різниці маємо: а=b+с1 і а=b+с2. Звідси b+с1=b+с2, а за властивістю монотонності суми маємо: с12, що суперечить вибору с1 і с2. Ця суперечність дозволяє твердити про те, що наше припущення про не єдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина.Теорема доведена.



Интернет реклама УБС

 

8. Для визначення операції множення на множині натуральних чисел також можна використати два підходи. Згідно з першим, операція множення визначається на основі операції декартового добутку множин. Розглянемо дві скінченні множини А і В такі, що n(А)=а і n(В)=b. Тепер приймемо таке означення: “Добутком натурального числа а на натуральне число b називається число елементів декартового добутку а-елементної множини А на b-елементну множину В, тобто а×b=n(А)●n(В)=n(А´В)”.

Для введення іншого означення розглянемо b скінченних еквівалентних між собою множин А1, А2, А3, ... Аb таких, що А123~...~Аb і n(А1)=n(А2)=n(А3)=...=n(Аb)=а. Тепер приймемо таке означення добутку натуральних чисел а і b: “Добутком натурального числа а на натуральне число b, b>1, називають суму b доданків, кожний із яких дорівнює а”. Якщо накласти умову, що множини А1, А2, А3, ... Аb не мають спільних елементів, то а×b=n(А1ÈА2ÈА3È...ÈАb)=n(А1)●n(А2)●n(А3)●...●n(Аb)=а×b. Оскільки доданків не може бути менше, ніж два, то для множення на 0 і на 1 вводяться додаткові означення: “а×0=0 і а×1=а”. Число а називають першим множником, число b – другим множником, число а×b – добутком. Операцію, за допомогою якої знаходять добуток називають множенням. Число а інколи називають множеним, а число b - множником.

У жодному із наведених нами означень, які еквівалентні між собою, нічого не говориться про існування та єдиність операції множення та про властивості, яким вона задовольняє. Саме тому слід довести наступні теореми.

Теорема 6. (про існування та єдиність добутку): якими б не були цілі невід’ємні числа a і b завжди існує єдине ціле невід’ємне число a×b, яке є їх добутком.

Доведення:

Для доведення теореми використаємо означення добутку через суму однакових доданків, розглянувши три випадки: 1) b=0; 2) b=1; 3) b>1. Якщо b=0, то добуток а×0 існує згідно з додатковим означенням: а×0=0. Якщо b=1, то добуток а×1 також існує згідно з додатковим означенням: а×1=а. В обох випадках добутки єдині. Якщо b>1, то добуток існує і єдиний, бо існує і єдина сума а+а+а+...+а=а×b. Теорему доведено.


Читайте також:

  1. I визначення впливу окремих факторів
  2. II. Визначення мети запровадження конкретної ВЕЗ з ураху­ванням її виду.
  3. II. Мотивація навчальної діяльності. Визначення теми і мети уроку
  4. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
  5. Ocнoвнi визначення здоров'я
  6. VII. Професійна кооперація
  7. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  8. Аеродинамічні властивості колісної машини
  9. Аксіоми додавання і множення
  10. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
  11. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
  12. Аналіз службового призначення деталей та конструктивних елементів обладнання харчових виробництві, визначення технічних вимог і норм точності при їх виготовленні

Загрузка...



<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони). | Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.002 сек.