Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.

План.

Змістовний модуль 3.3. «Натуральне число як результат вимірювання величини.».

МОДУЛЬ ІІІ. «РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ АРИФМЕТИКИ ЦІЛИХ НЕВІДЄМНИХ ЧИСЕЛ».

Теорема 11 (про існування операції ділення): операція ділення на множині цілих невід’ємних чисел а і віснує тоді і тільки тоді, коли аділиться націло на в.

Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.

7. Визначимо операції віднімання і ділення в аксіоматичні теорії цілих невід’ємних чисел та покажемо, яким умовам повинні задовольняти цілі невід’ємні числа, щоб ці операції існували та були єдині.

Означення: відніманням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне число а-в – різницю чисел а і в – таке, що (а-в)+в=а.

Із цього означення яскраво видно, що операція віднімання на множині цілих невід’ємних чисел є оберненою до операції додавання, коли за відомою сумою і одним доданком слід знайти інший, невідомий доданок. Разом з тим, в означенні нічого не говориться про умови існування, єдиність та правила виконання такої операції. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 9 (про існування операції віднімання): операція віднімання на множині цілих невід’ємних чисел існує тоді і тільки тоді, коли а³в.

Теорема 10 (про єдиність різниці):якщо різниця двох цілих невід’ємних чисел існує, то вона єдина.

Означення: діленням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне числоа:в– частку чисел а і в– таке, що (а:в)×в=а.

Із цього означення яскраво видно, що операція ділення на множині цілих невід’ємних чисел є оберненою до операції множення, коли за відомим добутком і одним множником слід знайти інший, невідомий множник. Разом з тим, в означенні нічого не говориться про умови існування, єдиність та правила виконання такої операції. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 12 (про єдиність частки):якщо частка цілого невід’ємного числа на натуральне число існує, то вона єдина.

Теореми 9-12 ми доводили, розглядаючи кількісну теорію цілих невід’ємних чисел, а тому тут опустимо ці доведення, бо вони аналогічні до проведених раніше.

1.Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.

2. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.

3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – c. 124-140; [2] – с. 193-200; [3] – с. 197-229.

1.У математиці доволі часто зустрічаються з такими поняттями як «натуральний ряд чисел», «відрізок натурального ряду чисел», «лічба елементів скінченної множини», «операція лічби», «кількісні натуральні числа», «порядкові натуральні числа» тощо. Для однозначного трактування вказаних понять приймемо наступні означення.

Означення: Множину натуральних чисел, упорядковану за допомогою відношення “менше”, називають натуральним рядом чисел.

Означення: Множину цілих невід’ємних чисел, упорядковану за допомогою відношення “менше”, називають розширеним натуральним рядом чисел.

Означення: Відрізком натурального ряду чисел N_m називається множина всіх послідовних натуральних чисел, які не перевищують натурального числа m.

Людині у процесі практичної діяльності доводиться часто визначати чисельність деякої множини. Робиться це з допомогою операції лічби.

Означення: Лічбою елементів множини М називається операція встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною М і відрізком натурального ряду N_m.

Під час лічби слід дотримуватися наступних правил: 1) жоден елемент при лічбі не може бути пропущеним; 2) жоден елемент при лічбі не може бути порахований кілька разів; 3) лічити можна у будь-якому порядку. В результаті лічби ми отримуємо відповідь на запитання “скільки?”, тобто використовуємо кількісні натуральні числа: один, два, три, чотири тощо. Ці числа ми отримуємо при побудові теорії цілих невід’ємних чисел у кількісній або теоретико-множинній теорії. Якщо вказано порядок лічби, то виконання цієї операції вимагатиме використання порядкових натуральних чисел: перший, другий, третій, четвертий тощо. Такі числа ми отримуємо при побудові теорії цілих невід’ємних чисел на аксіоматичній або порядковій основі. Таким чином, порядкові натуральні числа дають відповідь на запитання “який по порядку?”. Разом з тим, останній із названих порядкових числівників дає відповідь на запитання «скільки?», наприклад: сьомий, отже, предметів сім.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.	\|	Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.