Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.

Малюнок № 7.16.

У практичній діяльності та в математиці доводиться досить часто знаходити не лише площі плоских фігур, але й площі поверхонь геометричних тіл. Нагадаємо, площею поверхні многогранника називають суму площ усіх його граней. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули для їх знаходження:

1) площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на її бічне ребро;

2) площа повної поверхні довільної призми дорівнює сумі її бічної поверхні та площ основ;

3) площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину бічного ребра;

4) площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи на довжину апофеми;

5) площа повної поверхні правильної піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи;

6) площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту, тобто S_б.ц.=2pRH;

7) площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі її бічної поверхні та площ його основ, тобто S_п.ц.=2pRH+2pR²=2pR(H+R);

8) площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його основи на довжину твірної, тобто S_б.к.=pRl;

9) площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі його бічної поверхні та площі його основи, тобто S_п.к.=pRl+pR²=pR(l+R);

10) площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі її великого круга, тобто S_кулі=4pR²;

5. Об'єм геометричного тіла можна вимірювати так само, як і площу геометричних фігур двома способами: безпосередньо чи опосередковано, за допомогою формул. У першому випадку система координат у просторі розбивається на одиничні куби певного рангу. Їх можна отримати, якщо через точки поділу на координатних осях провести площини, паралельні координатним площинам. Відповідно до цього геометричне тіло розіб’ється на одиничні куби. При цьому можливі два випадки: 1) одиничні куби повністю вичерпують тіло, тоді його об'єм характеризуватиметься невід’ємним раціональним числом; 2) куби певного рангу не вичерпують всього тіла, а тому об'єм такого тіла характеризуватиметься додатнім ірраціональним числом. Отже, можна вважати, що об'єм геометричного тіла є мірою кубовності або це величина обмеженої частини простору, яку займає тіло. Тепер введемо означення поняття “об'єм геометричного тіла”. Так само, як і для довжини та площі використаємо аксіоматичний підхід до введення поняття об’єму.

Означення: об’ємом геометричного тіла називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує міру кубовності геометричного тіла та визначена для кожного геометричного тіла так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині М геометричних тіл існує нульовий куб k₀ такий, що m(k₀)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($k₀єМ)(m(k₀)=0)]).

2. У множині М існує одиничний куб k такий, що m(k)=1, яким можна виміряти об'єм будь-якого геометричного тіла (символічно ця аксіома запишеться так: ([($kєМ)(m(k)=1)]).

3. Рівні геометричні тіла мають рівні об’єми (символічно ця аксіома запишеться так: ([("F,GєM)((F=G)↔ (m_k(F)=m_k(G))]).

4. Якщо геометричне тіло F складається із скінченного числа геометричних тіл F₁, F₂, F₃,...F_n, які не мають спільних внутрішніх точок, то об'єм геометричного тіла Fдорівнює сумі об’ємів геометричних тіл F₁, F₂, F₃,...F_n (символічно: [("F,F₁,F₂,F₃,...,F_nєM)((F=F₁+F₂+F₃+...+F_n)↔ (m_k(F)=m_k(F₁)+m_k(F₂)+m_k(F₃)+...+m_k(F_n))]).

Цілком зрозуміло, що щоразу визначати об'єм геометричного тіла безпосереднім підрахунком числа кубів певного рангу дуже незручно, а тому в математиці для визначення об’ємів певних геометричних тіл вивели формули для знаходження об’єму. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули, які ми наведемо без доведення:

1. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів, тобто V=abc.

2. Об'єм куба дорівнює кубу його ребра, тобто V=a³.

3. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи паралелепіпеда на висоту, тобто V=S_осн.H.

4. Об'єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту, тобто V=S_осн.H.

5. Об'єм будь-якої піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи на висоту, тобто V=¹/₃S_осн.H.

6. Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто V=pR²H.

7. Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи на висоту, тобто V=¹/₃pR²H.

8. Об'єм кулі дорівнює добутку однієї третини поверхні кулі на її радіус, тобто V=⁴/₃pR³.

Оскільки основною одиницею вимірювання довжини у системі “SI” є 1 м, то основною одиницею вимірювання об’єму є 1 куб. м або 1 м³. Похідними одиницями вимірювання об’єму є наступні одиниці: 1 куб. дм (дм³)=0,001 м³=1000 см³; 1 куб. см (см³)=0,000001 м³=1000 мм³; 1 куб. мм (мм³)=0,000000001 м³; 1 куб. км (км³)=1000000000 м³. Для вимірювання об’єму рідких і сипучих тіл використовують такі одиниці: 1 літр (л), що дорівнює об’єму 1 куб. дм.; 1 мілілітр (мл)=0,001 л; 1 мікролітр (мкл)=0,000001 л; 1 декалітр (дкл)=10 л; 1 гектолітр (гл)=100 л; 1 кілолітр (кл)=1000 л. Аналогічно, як і у випадку з одиницями вимірювання площі, можна ввести позначення старовинних мір об’єму та встановити їхні співвідношення із сучасними мірами об’єму.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Малюнок № 7.15.	\|	Введення кредитної системи

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.