Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл зводиться до нового інтегралу, який є табличним або таким, що до нього зводиться (у випадку “вдалої” підстановки).
Нехай треба обчислити інтеграл . Зробимо підстановку де - функція, яка має неперервну похідну. Тоді , звідки одержуємо формулу заміни змінної у невизначеному інтегралі
.
Вкажемо окремі важливі випадки використання цієї формули.
3.1. Невизначені інтеграли вигляду , вилученням повного квадрату у квадратному тричлені і введенням нової змінної зводяться до одного з табличних інтегралів.
3.2. Якщо підінтегральна функція є добутком двох множників, один з яких залежить від деякої функції φ(х), а другий є похідною φ(х), (з точністю до сталого множника), то доцільно зробити заміну змінної за формулою φ(х)=t.
4. Метод інтегрування частинами
Якщо u=u(x), v=v(x) – диференційовні функції від х, то з формули для диференціала добутку двох функцій d(uv)=udv+vdu одержимо формулу інтегрування частинами
Ця формула застосовується у випадку, коли підінтегральна функція є добутком алгебраїчної та трансцендентної функцій. В якості u, як правило, обирається функція, яка спрощується диференціюванням, в якості dv – частина підінтегрального виразу, що залишилася, яка містить dx таз якої можна визначити v шляхом інтегрування.
В деяких випадках формула застосовується декілька разів. Іноді шуканий інтеграл визначається з алгебраїчного рівняння, що одержане в результаті застосування формули інтегрування частинами.