Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого

значення функції

1) Знайти стаціонарні точки, розв’язавши систему рівнянь (необхідна умова екстремуму функції):

. (9.5)

2) Обчислити у стаціонарних точках значення функції.

3) Знайти найбільше і найменше значення функції на кожній лінії, що обмежує задану область.

4) Порівняти всі отримані в пп. 2) – 3) значення і визначити найбільше і найменше з них.

Приклад 5. Знайти найбільше та найменше значення функції у замкненій області : , , .

Розв’язання.Знайдемо стаціонарні точки, що належать області

;

. Зобразимо область

(рис. 9.13). Для зручності позначимо вершини заданої області, яка має вигляд трикутника (див. рис.9.13). Стаціонарна точка

знаходиться всередині області

Рис. 9.13

Значення функції у цій точці: .

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на границі області . Для цього розглянемо функцію на границі. Так як границя складається із трьох ліній, то розглянемо функцію на кожній з них окремо.

Розглянемо функцію на границі . На лінії , отже

функція тут приймає вигляд: . Тобто задача зводиться до наступної: знайти найбільше та найменше значення функції від однієї незалежної змінної на відрізку (див. розділ ІV частини І).