Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею

Як відомо, деяке ціле число а може бути чи не бути кратним натуральному числу b. Якщо а кратне b, то . Якщо а не кратне b, то це означає, що при діленні а на b з’являється відмінна від нуля і менша від дільника остача, тобто , де .

Наприклад. . Маємо (остача 3), або .

Означення. Говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b з остачею, якщо існують такі цілі невід’ємні числа і , що , де .

Існування та єдиність неповної частки ( ) і ( ) встановлюється такою теоремою.

Теорема. Для будь-яких цілого і невід’ємного числа а і натурального числа b існує і причому єдина пара цілих невід’ємних чисел і , що , де .

Доведення.

1. Якщо а кратне b, то , а .

2. Якщо , то , де , бо .

3. Якщо і а не кратне b. Тоді серед чисел, кратних b, знайдуться два послідовні числа такі, що , або . Віднявши від усіх трьох частин подвійної нерівності добуток , дістанемо: . Позначимо . Тоді , де .

Доведемо, що пара чисел і єдина для даних чисел а і b. Справді, існує ще пара чисел , таких, що , де . Тоді за транзитивною властивістю рівності маємо . Нехай для визначеності . Тоді . З того, що і випливає . Отже, і тому , де . Тому , звідки .

Теорему доведено.

Теорему про ділення з остачею застосовують в арифметиці і в багатьох інших розділах математики. На ній ґрунтується подання натуральних чисел системними числами, перехід від однієї позиційної системи числення до іншої, алгоритм Евкліда, а також техніка ділення натуральних чисел «кутом».

Ділення з остачею розглядається ще в початкових класах. Наприклад, (1 остача). Тоді .

Підкреслюється, що обов’язково остача повинна бути меншою від дільника.

Важливість ділення з остачею в тому, що воно лежить в основі алгоритму ділення багатоцифрових чисел.

 

Тема. Прості задачі на множення та ділення

 

І. Задачі на розкриття конкретного змісту арифметичної дії:

· множення – знаходження добутку як суми однакових доданків:

В трьох однакових коробках лежало по 6 олівців. Скільки всього лежало олівців?

 

по 6 ол. – 3 к.

 

? ол.

6 + 6 + 6 = 6 · 3 = 18 (ол.)

 
 


· ділення – знаходження частки:

1) ділення на рівні частини:

Вчителька поділила 8 зошитів порівну між 4 учнями. Скільки зошитів одержав кожний учень?

 

по ? з. – 4 уч.

 

8 з.

8 : 4 = 2 (з.)

 

2) ділення на вміщення:

Маша розклала 8 кружечків в рядочки по 2 круга в кожному. Скільки рядочків отримала дівчинка?

 

по 2 кр. – ? р.

 

8 кр.

8 : 2 = 4 (р.)

 

ІІ. Задачі на збільшення, зменшення числа в кілька разів у прямій та непрямій формі:

· збільшення у прямій формі:

В перший корзині лежить 4 яблука, а в другій – в 3 рази більше. Скільки яблук лежить в другій корзині?

І. – 4 ябл.

ІІ. – ? ябл., в 3 рази б.

4 · 3 = 12 (ябл.)

 

· збільшення в непрямій формі:

В Оленки було 5 іграшок, а це в 2 рази менше, ніж у Миколи. Скільки іграшок у Миколи?

Ол. – 5 ігр., в 2 р. м. або Ол. – 5 ігр.

М. – ? ігр. М. - ?, в 2 рази б.

5 · 2 = 10 (ігр.)

 

· зменшення в прямій формі:

На клумбі виросло 9 білих троянд, а червоних – в 3 рази менше. Скільки червоних троянд виросло на клумбі?

Б. – 9 тр.

Ч. – ? тр., в 3 р. м.

9 : 3 = 3 (тр.)

· зменшення в непрямій формі:

В перший рядок поклали 8 квадратиків. Їх в 2 рази більше, ніж трикутників в другому ряду. Скільки поклали трикутників в другому ряду?

К. – 8 шт., в 2 р. б. або К. – 8 шт.

Т. – ? шт. Т. – ? шт., в 2 р. м.

8 : 2 = 4 (тр.)

 

ІІІ. Задачі на кратне порівняння (з питаннями «У скільки разів більше...?», «У скільки разів менше...?»)

1) У Мишка було 18 іграшкових автомобілів та 3 іграшкових літака. У скільки разів більше у хлопчика автомобілів, ніж літаків?

Авт. – 18 шт.

у ? р. б.

Л. – 3 шт.

18 : 3 = 6 (р.)

 

2) Бабусі 54 роки, а її онучці 9 років. У скільки разів онучка молодша від бабусі?

Б. – 54 р.

у ? р. м.

В. – 9 р.

54 : 9 = 6 (р.)

 

ІV. Задачі на знаходження числа за однією його частиною та знаходження частини числа:

1) знаходження числа за однією його частиною:

У Маринки половина стрічки має довжину 9 см. Яка довжина всієї стрічки?

 

9 · 2 = 18 (см)

 

2) знаходження частини числа:

Було 24 горіхи. Третю частину їх витратили. Скільки горіхів витратили?

 

 

24 : 3 = 8 (г.)

V. Задачі на знаходження невідомого компонента арифметичної дії:

1) знаходження невідомого множника:

Невідоме число збільшили у 3 рази і дістали 21. Яке невідоме число?

21 : 3 = 7

Число 8 помножили на невідоме число і отримали в результаті число 56. Знайти невідоме число.

56 : 8 = 7

 

2) знаходження діленого:

Невідоме число поділили на 5 і отримали 4. Знайти невідоме число.

4 · 5 = 20

 

3) знаходження дільника:

Число 27 зменшили в декілька разів і отримали 3. У скільки разів зменшили дане число?

27 : 3 = 9 (р.)

 


Читайте також:

  1. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
  2. II. Множення круглих багатоцифрових чисел на розрядні числа.
  3. III. За виділенням або поглинанням енергії
  4. IV Етап: Вибір стратегії керування виявленими ризиками й виділення пріоритетних напрямків роботи
  5. VII. Філо- та онтогенез органів виділення
  6. Абсолютна величина дійсного числа
  7. Абсолютна величина числа позначається символом .
  8. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
  9. АЛЬТЕРНАТИВНІ ПІДХОДИ ДО ВИДІЛЕННЯ МЕТОДІВ УПРАВЛІННЯ
  10. Антропогенез – процес виділення людини з тваринного святу, олюднення мавпи під впливом суспільної практики.
  11. Антропогенез – процес виділення людини з тваринного святу, олюднення мавпи під впливом суспільної практики.
  12. Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості




Переглядів: 1472

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Неможливість ділення на нуль | Десяткова система числення

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.007 сек.