Студопедия
Контакти
 


Тлумачний словник

Реклама: Настойка восковой моли




Авто | Автоматизація | Архітектура | Астрономія | Аудит | Біологія | Будівництво | Бухгалтерія | Винахідництво | Виробництво | Військова справа | Генетика | Географія | Геологія | Господарство | Держава | Дім | Екологія | Економетрика | Економіка | Електроніка | Журналістика та ЗМІ | Зв'язок | Іноземні мови | Інформатика | Історія | Комп'ютери | Креслення | Кулінарія | Культура | Лексикологія | Література | Логіка | Маркетинг | Математика | Машинобудування | Медицина | Менеджмент | Метали і Зварювання | Механіка | Мистецтво | Музика | Населення | Освіта | Охорона безпеки життя | Охорона Праці | Педагогіка | Політика | Право | Програмування | Промисловість | Психологія | Радіо | Регилия | Соціологія | Спорт | Стандартизація | Технології | Торгівля | Туризм | Фізика | Фізіологія | Філософія | Фінанси | Хімія | Юриспунденкция

Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9, на складені числа

Загрузка...

Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9 чисел, записаних у десятковій системі числення, відомі з математики середньої школи. Обґрунтуємо ці ознаки, спираючись на введене означення відношення подільності та його властивості.

 

Теорема про подільність на 2 і 5:Для того щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилось число його одиниць.

Доведення: Запишемо число а = аnan-1a0 у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (аn10n + … + a110) + a0. Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а0 ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.

Наслідок 1:Для того, щоб число а ділилось на 2, необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Наслідок 2:Для того, щоб число а ділилось на 5, необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось цифрою 0 або 5.

 

Теорема про подільність на 4 і 25: Для того щоб число ділилось на 4 (на 25), необхідно і достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами.

Доведення: Число а = аnan-1a0 запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (an10n + … +a2102) + (a110 + a0). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а1а0 = а110 + а0, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.

 

Теорема про подільність на 3 і на 9: Для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб на 3 або на 9 ділилась сума цифр цього числа.

Доведення: Запишемо число а у вигляді: а = an10n + … + a110 + a0.

Оскільки 10 = 9 + 1, 102 = 99 + 1, ... , 10n = +1,

то an ( 99..9 + 1) + … +a1 (9 + 1) + a0 = (an99..9 + … + a19) + (an + … + a1 + a0).

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) an+ … + a1 + a0, ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.



Интернет реклама УБС

Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25 . Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число.

 

Ознака подільності на 6: Для того, щоб число а ділилося на 6, необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3.

Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а 6 і 6 2, то а 2. Через те що а 6 і 6 3, то а 3 (за властивістю транзитивності).

Достатність: Якщо а 2 і а 3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, а К (2, 3). Оскільки Д(2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2∙3 = 6. Таким чином, а 6. Теорему доведено.

 

Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.

Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.

Так, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 4 і на 15. У свою чергу, щоб число ділилися на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і на 5. Отже, для того, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 4, на 3 і на 5.

 


Читайте також:

  1. II. Множення круглих багатоцифрових чисел на розрядні числа.
  2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
  3. Абсолютна величина дійсного числа
  4. Абсолютна величина числа позначається символом .
  5. Адміністративна відповідальність: поняття, мета, функції, принципи та ознаки.
  6. Адміністративне правопорушення як підстава юридичної відповідальності: ознаки і елементи
  7. Адміністративне правопорушення як підстава юридичної відповідальності: ознаки і елементи.
  8. Адміністративне правопорушення, його ознаки та склад
  9. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
  10. Адміністративно-командна система, її ознаки та механізм функціонування.
  11. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
  12. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.

Загрузка...



<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Теореми про подільність суми, різниці, добутку | Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.