Інтегрування ірраціональних функцій

Інтеграл від ірраціональної функції не завжди обчислюється в

скінченному вигляді. Проте деякі типи таких інтегралів за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

Позначимо раціональну функцію від змінних . Наприклад, функція є раціональною від , тобто

Інтеграли виду ,

де - натуральні числа, - дійсні числа, причому (у іншому випадку - стала величина) обчислюється за допомогою введення нової змінної

де k - спільний знаменник дробів .

Приклад 1.Обчислити .

Розв’язування. Зробимо підстановку . Одержимо

Далі маємо

Приклад 2.Обчислити .

Розв’язування.

Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.

Якщо , то вводиться нова змінна t :

де знаки можна брати у будь-якій послідовності.

Якщо у тричлені , то можна використати іншу підстановку

У випадку коли і тричлен має дійсні різні корені й , то використовується підстановка

або

Зазначимо, що підстановки Ейлера часто приводять до досить складних раціональних функцій, а тому на практиці при обчисленні інтегралів цього типу користуються простішими методами.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Інтегрування найпростіших раціональних дробів	\|	Інтегрування деяких тригонометричних функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.