Теоретичні відомості

2.Включення (вміст)

Нечітка множина A={x,µ_A(x)} є нечіткою підмножиною нечіткої множини B={x,µ_B(x)} тоді, коли значення функції належності першої не перевершують відповідних значень функції приналежності другої, тобто виконується наступна умова:

(2.2)

Далі розглянемо операції над нечіткими множинами, що зустрічаються найчастіше.

1.Перетинання (Кон’юнкція, «І»)

– найбільша нечітка підмножина, що міститься одночасно в A і B:

(2.3)

Нехай А – нечіткий інтервал між 5 і 8, В – нечітке число наближене до 4, як показано на рисунку 2.1.

Рис. 2.1 Нечіткі множини А и В

Проілюструємо на рисунку 2.2 операцію перетинання 2х нечітких множин.

Рис. 2.2 Операція перетинання A AND B

Приклад 2.1.

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

2.Об'єднання (Диз'юнкція, «АБО»)

– найменша нечітка підмножина, що включає як А, так і В:

(2.8)

Проілюструємо на рисунку 2.3 операцію об'єднання 2х нечітких множин А и В, представлених на рисунку 2.1.

Рис. 2.3 Операція об'єднання A OR B

Приклад 2.2.

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

3.Доповнення (логічне заперечення)

Доповнення нечіткої множини є не що інше, як математичне подання вербального вираження «НЕ А», де А – нечітка множина, що описує деяке розмите судження.

Нехай Е – множина, M = [0,1], A і B – нечіткі множини, задані на E. A і B доповнюють один одного, якщо:

(2.12)

Це можна позначити так:

(2.13)

Рисунок 2.4 ілюструє операцію заперечення нечіткої множини А.

Рис. 2.4 Операція заперечення нечіткої множини A

Приклад 2.3.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Тоді очевидно, що

(2.17)

4.Добутком нечітких множин A і B називається нечітка підмножина з функцією належності [2]:

(2.18)

5.Сумою нечітких множин A і B називається нечітка підмножина з функцією належності:

(2.19)

6.Різниця нечітких множин A і B визначається співвідношенням:

(2.20)

7.Відстань Хеммінга, або лінійна відстань, визначається за формулою:

(2.21)

8.Євклідова відстань або квадратична відстань, визначається за формулою:

(2.22)

У середовищі Matlabіснує можливість визначати кон’юнктивні та диз’юнктивні оператори з точки зору мінімаксної и ймовірностної інтерпретації.

Розглянемо мінімаксну інтерпретацію логічних операторів, в котрій кон’юнктивний оператор представляє знаходження мінімуму – min, а диз’юнктивний – максимум – max.

Опис кон’юнктивної функції: у = min ([у1; у2]).

Опис диз’юнктивної функції: у = тах ([у1; у2]).

Параметри у1 и у2 являють собою початкові функції належності. Функція min працює зі списком ФН. В Matlab список оформлюється квадратними скобками, а елементи списку розділяються крапкою з комою [3].