• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Елементи векторної алгебри.

Координати вектора визначаються формулою , якщо задані точки і .

Вектори і можна додавати і віднімати , де і довільні сталі. Якщо вектори лінійно незалежні, то вони утворюють базис і вектор може бути розкладений по цьому базису: , де – деякі числа. Якщо вектори і колінеарні, то їх координати пропорційні: .

Скалярний добуток векторів і визначається ( , де - кут між векторами і . Якщо вектори задані координатами, то скалярний добуток ( . Умова перпендикулярності векторів: ( 0. Довжина вектора: . Кут між векторами і : . Проекція вектора на вектор : . Робота сили , яка прямолінійно переміщує матеріальну точку з початку в кінець вектора визначається формулою .

Векторним добутком векторів і є вектор , що задовольняє умовам: а) вектор б) довжина вектора обчислюється за формулою: , де - кут між векторами і ; в) утворюють праву трійку. Якщо вектори задані координатами, то векторний добуток обчислюється як . Площа трикутника АВС, для якого задані координати вершин, обчислюється як . Момент сили , прикладеної в точці , відносно точки визначається векторним добутком .

Мішаний добуток трьох векторів - це векторно-скалярний добуток , де . Три вектори компланарні, якщо вони належать одній площині або паралельним площинам. Умова компланарності трьох векторів: . Модуль мішаного добутку векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Об’єм піраміди . Знак вибираємо таким чином, щоб об’єм був додатним.

Задача 5.Перевірити колінеарність векторів , побудованих на векторах і , якщо .

Розв’язання: Знайдемо координати векторів :

.

Перевіримо умову колінеарності векторів:

Вектори не колінеарні, так як їх координати не пропорційні.

Задача 6. Задані координати вершин піраміди . Знайти:

а) Кут між ребрами та ; б) Площу грані ; в) Проекцію вектора на вектор , г) Довжину висоти піраміди, проведену з вершини , д) Яку трійку утворюють вектори , і ?

Дано: , , , .

Розв’язання:

Знайдемо координати векторів, на яких побудована піраміда: , , .

а) Тоді косинус кута між ребрами та :

. Маємо

б) Площу грані знайдемо, як половину модуля векторного добутку векторів та :

.

=

(кв.од.)

в) Проекцію на обчислюємо за формулою:

г) Об^’єм піраміди обчислимо, застосовуючи мішаний добуток векторів , і .

, (куб.од.)

Для знаходження висоти піраміди застосовуємо формулу

кв.од. і куб.од. Підставимо i в формулу для обчислення висоти:

(лін.од.)

д)Так як мішаний добуток векторів , то вони утворюють праву трійку.

Задача 7.Визначити при якому значенні b вектори i взаємно перпендикулярні.

Розв’язання: Запишемо вектори в координатній формі: . Знайдемо скалярний добуток цих векторів: . З умови перпендикулярності векторів: маємо

.

Задача 8.З^’ясувати, чи належать чотири точки , , і одній площині.

Розв’язання: Якщо 4 точки лежать в одній площині, то вектори , , належать цій площині, отже будуть компланарні.

Перевіримо це. Знайдемо координати цих векторів: , і їх мішаний добуток

Вектори компланарні, точки А, В, С, D лежать в одній площині.

Задача 9. Дані сила = (5;−1;2) і дві точки і . Треба знайти: а) Роботу сили , необхідну для переміщення тіла із точки в точку ; б) Момент сили відносно точки , якщо сила прикладена в точку .

Розв’язання:

а) Робота А сили визначається як скалярний добуток сили на вектор переміщення . Знайдемо координати вектора :

= (0 − 3; 2 − (−1); −2 −1) = (− 3; 3;−3)

Тоді = ( 5; –1; 2 )×( –3; 3; –3) = 5 (–3) + (–1)×3 + 2 (–3) = = –15 –3 –6 = –24.

б) Момент сили відносно точки , якщо сила прикладена в точку визначається як векторний добуток сили на плече .

.

Читайте також:

1. II. Елементи операційних витрат
2. Аграрна структура та її елементи
3. Адміністративне правопорушення як підстава юридичної відповідальності: ознаки і елементи
4. Адміністративне правопорушення як підстава юридичної відповідальності: ознаки і елементи.
5. Азот, фосфор, біогенні елементи та їх сполуки, органічні речовини
6. АКУСТИКА. ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ СЛУХУ. ОСНОВИ АУДІОМЕТРІЇ
7. Базові елементи управління проектом
8. Біоелементи.
9. Будова й основні елементи машини
10. Валідація НАССР- отримання об'єктивного доказу того, що елементи НАССР-плану результативні.
11. Валютна система та її елементи
12. Вибір вогнегасної речовини та основні елементи устаткування водяного пожежогасіння

Переглядів: 3758