Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Формула Стокса

Нехай задано векторне .

Якщо функції неперервні разом зі своїми частинними похідними 1-го порядку на поверхні і – замкнений контур, який обмежує поверхню , то справедлива формула Стокса

Цій формулі можна надати векторний зміст

.

Тобто циркуляція по замкненому контуру дорівнює потоку ротора через поверхню , яка натягнута на контур .

Задача 30. Знайти похідну функції унапрямі векторав т. та ,якщо , .

Розв’язання: Похідну функції у напрямі вектора в точці обчислюємо за формулою:

,

де – напрямні косинуси вектора .

Знайдемо вектор , довжина якого .Напрямні косинуси вектора : .

Знайдемо частинні похідні першого порядку функції в точці : ;

; .

Маємо:

.

Градієнт функції в точці знайдемо за формулою:

. Маємо

.

Задача 31. Знайти похідну скалярного поля в точці в напрямі, який йде до точки .

Розв’язання: Для знаходження похідної за напрямом скористаємось формулою . Знайдемо одиничний вектор заданого напрямку :

, ,

, , тобто маємо .

Знайдемо значення частинних похідних в точці .

,

,

Отже маємо .

Задача 32. Знайти , та для векторного поля , де точка

Розв’язання: За означенням ротор векторного поля в довільній точці знаходиться за формулою:

.

Маємо

Знайдемо ротор в точці і його модуль , . За означенням, дивергенція векторного поля в довільній точці знаходиться за формулою: . В нашому випадку

Дивергенція в точці : .

Задача 33. Знайти в точці дивергенцію і ротор векторного поля .

Розв’язання: Для заданого векторного поля , , . Тоді ,

.

.

Задача 34. Обчислити потік векторного поля

через зовнішню поверхню піраміди, створену площиною та координатними площинами, двома способами: а) за означенням; б) за допомогою формули Остроградського - Гаусса.

Розв’язання: а) Запишемо рівняння площини у відрізках і побудуємо її. Маємо піраміду . Обчислимо потік за допомогою поверхневого інтеграла , де

 
 


зовнішня поверхня піраміди . Обчислимо потік через кожну грань піраміди:

1) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор , , :

. Знайдемо Потік через :

;

2)лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор . Так як мається на увазі зовнішня сторона, то . : . Знайдемо Потік через :

;

3) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор . Так як мається на увазі зовнішня сторона, то , , : . Знайдемо Потік через :

;

4) належить площині . Нормальний вектор площини . Знайдемо орт нормального вектора:

. Диференціал поверхні визначається формулою: . Маємо і

. Тоді . Знайдемо .

Слід площини в площині – це пряма Þ . Потік через :

.

Потік через повну поверхню піраміди :

.

б) за формулою Остроградського – Гаусса , де , .

Знайдемо частинні похідні:

, . Інтеграл дорівнює об’єму піраміди . Маємо . Тоді .

Задача 35. Обчислити циркуляцію векторного поля

по контуру трикутника, який з¢являється внаслідок перетину площини з координатними площинами, при додатному напрямку обходу відносно нормального вектора цієї площини двома способами: а) за означенням; б) за формулою Стокса.

Розв’язання:

 
 


Побудуємо площину , маємо D .

а) за означенням циркуляція

1) на відрізку маємо: , , ,

.

;

2) на відрізку маємо:

,

;

3) на відрізку маємо: , , ,

.

Маємо .

б) Обчислимо циркуляцію векторного поля за формулою Стокса:

,

де .

Ротор векторного поля обчислюємо за формулою

,

у випадку, коли поверхня проектується у площину .

Знайдемо ротор заданого векторного поля

В нашому випадку поверхня – частина площини, обмеженої , який лежить у площині . Нормальний вектор площини забезпечує потрібний напрям орієнтації поверхні. Орт цього вектора Знайдемо

. З рівняння площини маємо

. Інтеграл дорівнює площі : . Тоді .

Задача 36. а) Обчислити за формулою Остроградського – Гаусса потік векторного поля через повну зовнішню поверхню трикутної піраміди, яка обмежена поверхнями , , , . б) Обчислити за формулою Стокса циркуляцію векторного поля по сторонах трикутника в додатному напрямі (проти годинникової стрілки, коли дивитися з кінця нормального вектора).

Розв’язання: Запишемо рівняння площини у відрізках і побудуємо її. Маємо піраміду з вершинами у точках .

а) Обчислимо потік через повну поверхню користуючись формулою Остроградського – Гаусса. Для цього знайдемо дивергенцію векторного поля: .

 

 

 
 

Тоді

.

б) Знайдемо циркуляцію користуючись формулою Стокса

де поверхня натягнута на контур . За поверхню візьмемо поверхню, яка складається з трикутників . Напрям нормалей на цих трикутниках буде співпадати з напрямом осей координат. Знайдемо вектор .

.

Тоді

На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому

.

На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому

.

На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому

.

Таким чином маємо .

Можна спростити обчислення циркуляції, якщо врахувати і контур – це трикутник , який належить площині . Нормальний вектор площини забезпечує потрібний напрям орієнтації поверхні. Орт цього вектора . Знайдемо . З рівняння площини матимемо: . Тоді

. Інтеграл дорівнює площі :

. Тоді .

 


Читайте також:

  1. I. Формула спеціальності
  2. I. Формула спеціальності
  3. I. Формула спеціальності
  4. Абсолютні й відносні посилання у формулах
  5. Барометрична формула
  6. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі
  7. ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ВНУТРІШНЬОГО ТЕРТЯ РІДИНИ МЕТОДОМ СТОКСА
  8. Вступне звернення і заключна формула ввічливості
  9. Втрати енергії вздовж круглого трубопроводу. Формула Пуазейля і коефіцієнт Дарсі.
  10. Грування, тобто має місце формула
  11. Диференціальне рівняння Нав’є – Стокса
  12. Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора




Переглядів: 1934

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Формула Остроградського – Гаусса | Н. В. Ліманська

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.009 сек.