МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||||||||||
Формула СтоксаНехай задано векторне . Якщо функції неперервні разом зі своїми частинними похідними 1-го порядку на поверхні і – замкнений контур, який обмежує поверхню , то справедлива формула Стокса Цій формулі можна надати векторний зміст . Тобто циркуляція по замкненому контуру дорівнює потоку ротора через поверхню , яка натягнута на контур . Задача 30. Знайти похідну функції унапрямі векторав т. та ,якщо , . Розв’язання: Похідну функції у напрямі вектора в точці обчислюємо за формулою: , де – напрямні косинуси вектора . Знайдемо вектор , довжина якого .Напрямні косинуси вектора : . Знайдемо частинні похідні першого порядку функції в точці : ; ; . Маємо: . Градієнт функції в точці знайдемо за формулою: . Маємо . Задача 31. Знайти похідну скалярного поля в точці в напрямі, який йде до точки . Розв’язання: Для знаходження похідної за напрямом скористаємось формулою . Знайдемо одиничний вектор заданого напрямку : , , , , тобто маємо . Знайдемо значення частинних похідних в точці . , , Отже маємо . Задача 32. Знайти , та для векторного поля , де точка Розв’язання: За означенням ротор векторного поля в довільній точці знаходиться за формулою: . Маємо
Знайдемо ротор в точці і його модуль , . За означенням, дивергенція векторного поля в довільній точці знаходиться за формулою: . В нашому випадку Дивергенція в точці : . Задача 33. Знайти в точці дивергенцію і ротор векторного поля . Розв’язання: Для заданого векторного поля , , . Тоді , . . Задача 34. Обчислити потік векторного поля через зовнішню поверхню піраміди, створену площиною та координатними площинами, двома способами: а) за означенням; б) за допомогою формули Остроградського - Гаусса. Розв’язання: а) Запишемо рівняння площини у відрізках і побудуємо її. Маємо піраміду . Обчислимо потік за допомогою поверхневого інтеграла , де –
зовнішня поверхня піраміди . Обчислимо потік через кожну грань піраміди: 1) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор , , : . Знайдемо Потік через : ; 2)лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор . Так як мається на увазі зовнішня сторона, то . : . Знайдемо Потік через : ; 3) лежить у площині і має рівняння . Нормальний вектор . Так як мається на увазі зовнішня сторона, то , , : . Знайдемо Потік через : ; 4) належить площині . Нормальний вектор площини . Знайдемо орт нормального вектора: . Диференціал поверхні визначається формулою: . Маємо і . Тоді . Знайдемо . Слід площини в площині – це пряма Þ . Потік через :
. Потік через повну поверхню піраміди : . б) за формулою Остроградського – Гаусса , де , . Знайдемо частинні похідні: , . Інтеграл дорівнює об’єму піраміди . Маємо . Тоді . Задача 35. Обчислити циркуляцію векторного поля по контуру трикутника, який з¢являється внаслідок перетину площини з координатними площинами, при додатному напрямку обходу відносно нормального вектора цієї площини двома способами: а) за означенням; б) за формулою Стокса. Розв’язання:
Побудуємо площину , маємо D . а) за означенням циркуляція 1) на відрізку маємо: , , , . ; 2) на відрізку маємо: , ; 3) на відрізку маємо: , , , . Маємо . б) Обчислимо циркуляцію векторного поля за формулою Стокса: , де . Ротор векторного поля обчислюємо за формулою , у випадку, коли поверхня проектується у площину . Знайдемо ротор заданого векторного поля В нашому випадку поверхня – частина площини, обмеженої , який лежить у площині . Нормальний вектор площини забезпечує потрібний напрям орієнтації поверхні. Орт цього вектора Знайдемо . З рівняння площини маємо
. Інтеграл дорівнює площі : . Тоді . Задача 36. а) Обчислити за формулою Остроградського – Гаусса потік векторного поля через повну зовнішню поверхню трикутної піраміди, яка обмежена поверхнями , , , . б) Обчислити за формулою Стокса циркуляцію векторного поля по сторонах трикутника в додатному напрямі (проти годинникової стрілки, коли дивитися з кінця нормального вектора). Розв’язання: Запишемо рівняння площини у відрізках і побудуємо її. Маємо піраміду з вершинами у точках . а) Обчислимо потік через повну поверхню користуючись формулою Остроградського – Гаусса. Для цього знайдемо дивергенцію векторного поля: .
Тоді
. б) Знайдемо циркуляцію користуючись формулою Стокса де поверхня натягнута на контур . За поверхню візьмемо поверхню, яка складається з трикутників . Напрям нормалей на цих трикутниках буде співпадати з напрямом осей координат. Знайдемо вектор .
. Тоді На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому . На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому . На поверхні нормальний одиничний вектор , елемент поверхні . Тому . Таким чином маємо . Можна спростити обчислення циркуляції, якщо врахувати і контур – це трикутник , який належить площині . Нормальний вектор площини забезпечує потрібний напрям орієнтації поверхні. Орт цього вектора . Знайдемо . З рівняння площини матимемо: . Тоді . Інтеграл дорівнює площі : . Тоді .
Читайте також:
|
|||||||||||||||||||
|