Тема №7: Нелінійні системи автоматичного регулювання. Метод фазового простору (фазової площини)

Динамічні процеси у нелінійних системах суттєво відрізняються від процесів у лінійних: значно ширше трактується поняття стійкість, в тій самі системі залежно від початкових відхилень можуть спостерігатися якісно різні перехідні процеси тощо. В цілому за своїми властивостями нелінійні системи значно багатші за лінійні.

Стан системи, (тобто значення регульованої величини і швидкість її зміни) задають на фазовій площині точкою. Цю точку наз. Зображуючою.

Якщо б-яка дія виводить систему з усталеного режиму, то зображуюча точка опиняється у довільному місці фазової площини. Під час перехідного процесу змінюється вихідна величина Y та її похідна, тому зображуюча точка рухається у фазовій площині по фазовій траєкторії.

Сукупність фазових траєкторій, що відповідають різним початковим станам системи наз. Фазовим портретом. Фазовий портрет дає повне уявлення про динаміку системи.

Через б-яку точку фазової площини (крім особливих т.) може проходити лише одна фазова траєкторія.

Як зазначалося раніше, рівняння фазової траєкторії є розв’язком рівняння

. Спосіб розв’язування цього рівняння залежить від типу характеристики нелінійної ланки. Загальним методом розв’язування є чисельне інтегрування за допомогою ЕОМ. Для кусково-лінйних нелінійних характеристик у деяких випадках розв’язок рівняння може бути знайдено аналітично для окремих лінійних ділянок нелінійної характеристики. Кожна лінійна ділянка нелінійної характеристики описується своїм рівнянням і, отже, буде багато різних рівнянь фазових траєкторій. При цьому на фазовому портреті з’являться так звані лінії перемикання, що розділяють фазову площину на зони з різними фазовими траєкторіями.

Рівняння ліній перемикання визначаються безпосередньо за математичним описанням нелінійної ланки. Якщо на фазовій площині є лінії перемикання, то при розрахунку фазових траєкторій початкові значення x1 і x2 для кожної ділянки визначаються через їх кінцеві значення на попередній ділянці.

Фазові траєкторії можна побудувати й не розв’язуючи рівняння якщо скористатися методом ізоклін. Ізокліни (лінії однакового

нахилу) – це лінії, вздовж яких похідна має стале значення.

Задача №1. Розрахувати і побудувати фазовий портрет нелінійної САК.

G U

В нашому випадку не лінійність складається з двох відрізків прямих ліній яким відповідають умови (1) і (2).

Запишемо в 1-ій нормальній формі Коші

Розділимо перше рівняння на друге:

І проінтегруємо:

Проінтегрувавши, знайдемо x для першого і другого випадків:

Врахувавши вихідні дані маємо:

З початкових умов знайдемо ;

;

Будуємо табличку для випадку (2)

0,98	-0,2
0,89	-0,4
0,68	-0,6
-1	-0,95

Коли стало рівним (-1) то приймаєм кінцеві значення та як початкові умови для розрахунку

Будуємо табличку для випадку (1) при

-1,15	-0,6
-1,28
-1,17	0,4
-0,47	0,8
	0,96

Аналогічно знаходимо

;

Будуємо табличку для випадку (2) при ;

1,16	0,6
1,287
1,18	-0,4
0,48	-0,8
-1	-0,94

По всіх трьох табличках будуємо графік:

1,5 лінія переключення

(2) 1

0,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

-0,5

(1)

лінія переключення

1,5

Це і є шуканий фазовий портрет.