Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Основний закон динаміки обертального руху

4.3.1. Розглянемо рух матеріальної точки маси під дією сили . Нехай точка має імпульс . Радіус-вектор точки позначимо . Із закона Ньютона випливає, що . Домножимо це рівняння векторно на вектор . Отримаємо

, ,

або, з урахуванням означень моментів імпульсу і сили,

.

Останнє рівняння має назву рівняння моментів, воно є найголовнішим рівнянням у динаміці обертального руху матеріальної точки.

Особливо простий вигляд приймає рівняння моментів у випадку, коли матеріальна точка рухається по колу, тобто коли радіус-вектор не змінює своєї довжини і дорівнює радіусу обертання. Візьмемо означення і підставимо в нього відомий вираз з кінематики обертального руху . Отримаємо . У цьому виразі другий доданок дорівнює нулю, оскільки скалярний добуток взаємно перпендикулярних векторів . Отже , або

,

де - момент інерції точки відносно розглядуваної осі обертання.Тоді рівняння моментів набуває вигляду

,

де - кутове прискорення.

4.3.2. Тепер розглянемо рух системи матеріальних точок. Запишемо закон Ньютона (рівняння руху) для кожної з n точок системи

де - внутрішні сили. Кожне з отриманих рівнянь домножимо векторно на відповідний радіус-вектор точки і додамо ліві і праві частини системи рівнянь. При цьому доданки, що містять внутрішні сили, взаємно скоротяться, і ми отримаємо, що перша похідна за часом t від моменту імпульсу механічної системи відносно будь-якої нерухомої точки О дорівнює головному моментові відносно тієї ж точки О всіх зовнішніх сил, прикладених до системи:

.

Отримане рівняння – рівняння моментів - виражає закон зміни моменту імпульсу механічної системи. Як бачимо, рівняння моментів для системи точок виглядає аналогічно рівнянню моментів для однієї точки. Воно справедливе також для твердого тіла, яке шарнірно закріплене в точці О і обертається навколо неї. У такому випадку це рівняння виражає основний закон динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки.

У проекціях на осі нерухомої прямокутної декартової системи координат із початком у точці О закон зміни моменту імпульсу системи записується у вигляді:

, , .

Тут – моменти імпульсу системи і головні моменти зовнішніх сил відносно відповідних осей координат.

Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю , то його момент імпульсу відносно цієї осі

і .

Тут – момент інерції тіла відносно осі OZ, який не змінюється з часом. Основний закон динаміки (силоруху) твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі OZ:

або .

Із останньої формули видно, що момент інерції твердого тіла відносно якоїсь нерухомої осі є мірою інертності цього тіла в обертанні навколо цієї осі: чим більший момент інерції тіла, тим меншого кутового прискорення воно набуває під дією одного й того ж моменту зовнішніх сил.

4.3.3. Коли матеріальна точка обертається навколо осі з кутовою швидкістю , вона має кінетичну енергію, яку можна розрахувати як

.

Аналогічно, кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю ,

.

Кінетична енергія твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки з кутовою швидкістю :

,

де I – момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання.

4.3.4. Елементарна робота, виконувана за малий проміжок часу силою , прикладеною до тіла, яке обертається навколо фіксованої осі, дорівнює

,

де – момент сили відносно осі обертання OZ (орт осі OZ збігається за напрямком з вектором ).

Приріст кінетичної енергії твердого тіла за час дорівнює роботі зовнішніх сил:

,

де – головний момент зовнішніх сил відносно осі обертання тіла.

4.3.5. Елементарна робота, виконувана за малий проміжок часу силою , яка діє на тіло, дорівнює

,

де – момент сили відносно точки О ( – радіус-вектор, проведений із О в точку прикладання сили ), і – відповідно кут повороту і вектор елементарного повороту тіла за час , а – момент сили відносно миттєвої осі обертання тіла, рівний проекції вектора на напрямок вектора .

Приріст кінетичної енергії твердого тіла за час dt дорівнює роботі зовнішніх сил:

,

де – головний момент зовнішніх сил відносно миттєвої осі обертання тіла.

4.3.6. Таким чином, рух вільного твердого тіла задовольняє такі два диференціальні (відоймові) рівняння:

,

.

Тут – маса тіла, – швидкість його центра інерції С, – головний вектор зовнішніх сил, прикладених до тіла, – головний момент зовнішніх відносно точки С сил, а – момент імпульсу тіла відносно тієї ж точки С. Перше рівняння описує поступальний рух вільного тіла зі швидкістю його центра інерції. Друге рівняння випливає з закону зміни моменту імпульсу і описує обертання твердого тіла навколо його центра інерції.

Кінетична енергія вільного тіла може бути знайдена на основі теореми Кеніга:

,

де – момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання, яка проходить через його центр інерції С, – кутова швидкість тіла. У загальному випадку миттєва вісь переміщується в тілі і момент інерції змінюється з часом. Величина залишається сталою, якщо рух тіла є плоским.

Приклад. Кінетична енергія однорідного кругового циліндра, який скочується з похилої площини без просковзування. Рух циліндра – плоский: усі його точки рухаються в паралельних (сулежних) вертикальних площинах. Циліндр рухається поступально зі швидкістю , спрямованою вздовж похилої площини, і обертається навколо своєї осі ( , де – відповідно маса та радіус циліндра) з кутовою швидкістю . Із умови відсутності просковзування випливає, що миттєві швидкості точок торкання циліндра об похилу площину дорівнюють нулеві, тобто . Тому кінетична енергія скочуваного циліндра

.




Переглядів: 3014

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Приклад 3. Момент інерції кулі відносно осі, що проходить через її центр. | Прецесія

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.