• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Які задані своїми координатами в ортонормованому базисі

Завдання 1. В ортонормованому базисі відомі координати двох векторів і . Потрібно визначити скалярний добуток цих векторів.

Розв’язання. Знаючи координати векторів і у базисі , можна представити ці вектори єдиним образом у вигляді лінійних комбінацій базисних векторів , . Враховуючи властивість 4 скалярного добутку векторів і рівності (6.1), одержуємо

.

Отже, якщо базис ортонормований, то скалярний добуток двох векторів і можна визначити за формулою

. (6.2)

Одержана формула і є шуканою формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які задані своїми координатами в ортонормованому базисі.

Завдання 2. В ортонормованому базисі відомі координати вектора . Потрібно визначити його довжину.

Розв’язання. За властивістю 2 скалярного добутку довжина вектора дорівнює . Враховуючи, що та той факт, що в ортонормованому базисі справедлива формула (6.2) для обчислення скалярного добутку, одержимо

. (6.3)

Завдання 3. Написати умову ортогональності ненульових векторів і , якщо їх координати задані в ортонормованому базисі.

Розв’язання. Якщо вектори та – ортогональні, то за означенням скалярного добутку . Враховуючи формулу (6.2), одержимо необхідну умову ортогональності векторів та :

(6.4)

Це умова на підставі властивості 5 скалярного добутку є й достатньою умовою ортогональності розглянутих векторів.

Завдання 4. В ортонормованому базисі задані координати векторів і . Визначити кут між цими векторами, враховуючи, що та .

Розв’язання.Позначимо через кут між векторами та . Нагадаємо, що . За означенням скалярного добутку , а за формулою (6.2) . Отже,

.

Приймаючи до уваги, що та що довжина вектора може бути визначена за формулою (6.3), приходимо до висновку, що

.

Завдання 5. Знайти проекцію вектора на вісь із ортом .

Розв’язання. Відомо, що скалярна проекція вектора на вісь обчислюється за формулою , де – кут між векторами та . З іншого боку, . Отже

.

Нехай в ортонормованому базисі вектор має координати . Вектор має очевидно, такі координати . Згідно з одержаною формулою (завдання 5) . Аналогічно . Таким чином, координати вектора в ортонормованому базисі дорівнюють проекціям вектора на осі з ортами .

Переглядів: 954