МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
ЛЕКЦІЯ 8Неповний, наближений опис довільного числа випадкових величин також може бути виконаний за допомогою числових характеристик. Мінімальна кількість характеристик, за допомогою якої може бути охарактеризована система випадкових величин , включає: 1. математичних сподівань , що характеризують середні значення випадкових величин ; 2. дисперсій , що характеризують розсіювання випадкових величин ; 3. кореляційних моментів , що характеризують попарну кореляцію всіх величин, які входять у систему. Сукупність всіх кореляційних моментів складає кореляційну матрицю системи. Для випадкових величин вона має вигляд . Елементи головної діагоналі цієї матриці, що представляють собою кореляційні моменти величини й тієї ж величини , дорівнюють дисперсіям випадкових величин . Елементи кореляційної матриці, які розташовані симетрично стосовно головної діагоналі, попарно рівні, тому що з визначення кореляційного моменту слідує, що . Якщо випадкові величини не є корельованими, то всі елементи кореляційної матриці, крім діагональних, будуть дорівнювати нулю. Таким чином, для наближеного опису системи випадкових величин необхідно мати у своєму розпорядженні значення математичних сподівань і кореляційну матрицю системи. Приведемо найбільш важливі теореми про числові характеристики системи випадкових величин. 1. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їхніх математичних сподівань . (27) Доказ. Нехай система дискретних випадкових величин. Тоді . Сума є ймовірністю того, що величина прийме значення , тобто . Тому . Аналогічно . Таким чином, теорему для дискретних випадкових величин доведено. Її доказ для неперервних випадкових величин цілком аналогічний. Теорема додавання математичних сподівань узагальнюється на довільне число доданків . 2. Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин і їх подвоєного кореляційного моменту . (28) Доказ. Позначимо . По теоремі додавання математичних сподівань . Віднімаючи з рівності рівність , перейдемо від випадкових величин до відповідних центрованих випадкових величин . По визначенню дисперсії що й було потрібно довести. Формула (28) може бути узагальнена на будь-яку кількість доданків , де кореляційний момент величин , ; знак під знаком суми означає, що підсумовування поширюється на всі можливі попарні сполучення випадкових величин . Якщо всі випадкові величини , що входять у систему, некорельовані ( 0 при ), тоді . 3. Математичне сподівання добутку двох випадкових величин дорівнює сумі добутку їхніх математичних сподівань і кореляційного моменту . (29) Доказ. Кореляційний момент по визначенню дорівнює . Використовуючи властивості математичного сподівання, отримаємо , що й було потрібно довести. Математичне сподівання добутку двох некорельованих ( 0) випадкових величин дорівнює добутку їхніх математичних сподівань . Для довільної множини незалежних випадкових величин справедливо . 4. Дисперсія добутку двох незалежних випадкових величин . (30) Доказ. Позначимо . По визначенню дисперсії . Величини незалежні, тому й . З урахуванням незалежності , , . (31) Другі початкові моменти виражаються через дисперсію , . Підставивши ці вирази в (31) і привівши подібні, отримуємо (30). Дисперсія добутку незалежних центрованих випадкових величин дорівнює добутку їхніх дисперсій . 5. Математичне сподівання лінійної функції дорівнює тієї ж лінійної функції від математичних сподівань аргументів , (32) де невипадкові коефіцієнти. Доказ. Користуючись теоремою додавання математичних сподівань, отримуємо . 6. Дисперсія лінійної функції виражається формулою , (33) де кореляційний момент величин . Доказ. Введемо позначення , тоді . Застосовуючи формулу для дисперсії суми й з огляду на те, що 0, маємо , (34) де кореляційний момент величин , що дорівнює . Оскільки і, відповідно , то . Підставляючи вираз для в (34), приходимо до (33). У випадку, коли всі величини , що входять у систему, некорельовані ( 0 при ), формула (33) набуває вид .
|
||||||||
|