Інтеграли виду зводяться до інтегралів від дробово-раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.
1) У випадку, коли можна виконати підстановку
Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрату:
звідки Як бачимо, – раціональна функція відносно . Очевидно, – також раціональна функція відносно , а слід представити як тобто теж через раціональну функцію відносно .
2) У випадку, коли , доцільно виконати таку підстановку:
Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрату:
та визначимо :
Пересвідчуємося, що та раціонально залежить від . При цьому – останній вираз раціонально залежить від .
3) Якщо та – дійсні корені рівняння так що то, виконавши підстановку
,
одержуємо: Звідси визначаємо, що і приходимо, як і раніше, до висновку, що а також раціонально залежить від .
Зауваження.
Оскільки , то
У випадку, коли інтеграл зводиться до виду можна застосувати тригонометричну підстановку
Якщо інтеграл зводиться до виду доцільно використати підстановку І нарешті, беруть за допомогою тригонометричної підстановки (або ).
Наприклад. Розглянемо Якщо скористатися, наприклад, другою підстановкою Ейлера одержуємо:
Отже, або Звідси маємо:
Визначаємо :
Зауважимо, що
Інтеграл зводиться до інтеграла від дробово-раціональної функції:
На жаль, інтеграл вимагає досить громіздких викладок (з використанням найпростіших дробів четвертого типу). Тому доцільно спробувати іншу підстановку – скажімо, Тоді отримаємо: .