• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Похідна за напрямом. Градієнт

Нехай функція визначена в деякому околі точки , a – напрямок, що задається одиничним вектором , де - кути, які утворює вектор з осями координат.

Якщо точка перейде по напряму в точку , то функція одержить приріст у напрямі , тобто . (22)

Оскільки то очевидно (див. Рис.3), що , .

Рис.3.

Тому приріст функції у даному напрямі перепишемо у вигляді:

.

Означення 22. Похідною за напрямом функції двох змінних називається границя відношення приросту функції в цьому напрямі до величини переміщення при прямуванні її до нуля, тобто . (23)

Похідна –характеризує швидкість зміни функції в напрямі .

Зрозуміло, що частинні похідні та є похідні за напрямами паралельними осям Ox та Оy відповідно.

Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)

Означення 23. Градієнтом функції називаєтьсявектор з координатами .

Враховуючи, що , праву частину (24) можемо записати увигляді скалярного добутку:

. (25)

Звідси випливає, що похідна за напрямом є скалярний добуток градієнта і одиничного вектора, який задає напрям .

Скалярний добуток двох векторів (25) максимальний, якщо вони мають однаковий напрям. Тому градієнт функції в даній точці характеризує напрям максимальної швидкості зміни функції в цій точці. Градієнт записують через його координати , а його довжина дає величину максимальної швидкості зміни функції в точці .

Переглядів: 6729