Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Теореми порівняння

 

Теорема 3.12. Якщо члени збіжної числової послідовності, починаючи з деякого номера, невід’ємні, то границя її є невід’ємною.

Доведення. Нехай у послідовності , починаючи з номера , члени

невід’ємні. Припустимо протилежне: границя послідовності менша за нуль:

.

Візьмемо . Тоді буде містити лише від’ємні числа. За означенням границі, починаючи з номера , усі члени послідовності належатимуть . Виберемо . Тоді одночасно буде більшим за нуль за умовою теореми та меншим за нуль, оскільки належить . Отримане протиріччя доводить твердження теореми.

 

Теорема 3.13. Якщо члени двох збіжних числових послідовностей, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то їх границі задовольняють нерівності

.

Доведення можна зробити, розглянувши послідовність , скориставшись теоремою 3.13.

Теорема 3.14. Якщо для членів трьох числових послідовностей

,

починаючи з деякого номера , виконується нерівність

,

причому , то послідовність також є збіжною і .

(Без доведення).

 

Існує велика кількість теорем Вейєрштрасса. Наведемо, без доведення, три з них, які встановлюють умови збіжності числових послідовностей.

 

Теорема 3.15. Будь-яка монотонно зростаюча й обмежена зверху числова послідовність має границю.

 

Теорема 3.16. Будь-яка монотонно спадна й обмежена знизу числова послідовність має границю.

 

Теорема 3.17. Будь-яка монотонна й обмежена числова послідовність має границю.

 

 

Використовуючи теорему 3.15, доводиться так звана друга важлива границя:

,

де - число Ейлера.

 

Запитання та завдання для самоперевірки

 

1. Чи утворюють числові послідовності лінійний простір?

2. Сформулюйте поняття нескінченно великої та необмеженої числових послідовностей.

3. Сформулюйте та доведіть теорему про зв'язок нескінченно малої та нескінченно великої числових послідовностей.

4. Доведіть за означенням, що число 3 є границею послідовності .

5. Починаючи з якого номера, члени послідовності будуть відрізнятися від числа 2, менше ніж на ?

 

 




Переглядів: 919

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Арифметичні теореми про збіжні послідовності | Границя функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.