МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Границя функціїОзначення 3.27. Точка називається граничною точкою множини , якщо існує її окіл, точки якого, крім, можливо, самої точки , належать множині . Розглянемо поведінку функції , що визначена в деякому околі граничної точки . У цьому околі можна побудувати числову послідовність , яка має своєю границею число . За умовою, що , функція буде визначена в усіх точках , тобто відповідні значення функції також утворюють числову послідовність . Зрозуміло, що послідовностей можна побудувати скільки завгодно. Відповідно, послідовностей значень функцій також буде нескінченна кількість. Наприклад, . Обчислимо її границю:
Означення 3.28. (Означення границі функції за Гейне). Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якої числової послідовності , границя якої є число , послідовність відповідних значень функції має границею число .
За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді: . Позначається це так: .
Означення 3.29. (Означення границі функції за Коші). Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , відповідні значення функції задовольняють нерівності .
За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді: .
Означення 3.30. (Геометричне означення границі функції). Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які належать -околу точки , відповідні значення функції належать -околу точки .
За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді: .
Виходячи з означення границі за Гейне, можна сформулювати і довести властивості границі функцій, спираючись на відповідні властивості числових послідовностей. Разом з тим, деякі властивості границі функції потребують уточнення. Наприклад, необхідна умова збіжності числових послідовностей є їх обмеженість. Ця ж умова для функцій буде такою: якщо функція має границю при , то існує деякий окіл точки , у якому функція є обмеженою.
Згідно з означенням границі за Гейне, розглядати треба всі числові послідовності , які мають границею . Серед них можна відокремити такі, що задовольняють деяким додатковим умовам, наприклад . Якщо всі послідовності значень функції, побудовані на основі таких послідовностей, мають рівні границі, то кажуть, що в точці функція має односторонню границю, у даному випадку ліву: . Аналогічно визначається правостороння границя:
.
Теорема 3.18. Для того щоб існувала границя функції при , необхідно і достатньо, щоб існували і були рівними її право- і лівосторонні границі (Без доведення).
|
||||||||
|