Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Границя функції

Означення 3.27. Точка називається граничною точкою множини , якщо існує її окіл, точки якого, крім, можливо, самої точки , належать множині .

Розглянемо поведінку функції , що визначена в деякому околі граничної точки . У цьому околі можна побудувати числову послідовність , яка має своєю границею число . За умовою, що , функція буде визначена в усіх точках , тобто відповідні значення функції також утворюють числову послідовність . Зрозуміло, що послідовностей можна побудувати скільки завгодно. Відповідно, послідовностей значень функцій також буде нескінченна кількість.

Наприклад, . Обчислимо її границю:

 

Означення 3.28. (Означення границі функції за Гейне).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якої числової послідовності , границя якої є число , послідовність відповідних значень функції має границею число .

 

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Позначається це так:

.

 

Означення 3.29. (Означення границі функції за Коші).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , відповідні значення функції задовольняють нерівності .

 

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

 

Означення 3.30. (Геометричне означення границі функції).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які належать -околу точки , відповідні значення функції належать -околу точки .

 

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

 

Виходячи з означення границі за Гейне, можна сформулювати і довести властивості границі функцій, спираючись на відповідні властивості числових послідовностей. Разом з тим, деякі властивості границі функції потребують уточнення.

Наприклад, необхідна умова збіжності числових послідовностей є їх обмеженість. Ця ж умова для функцій буде такою: якщо функція має границю при , то існує деякий окіл точки , у якому функція є обмеженою.

 

Згідно з означенням границі за Гейне, розглядати треба всі числові послідовності , які мають границею . Серед них можна відокремити такі, що задовольняють деяким додатковим умовам, наприклад .

Якщо всі послідовності значень функції, побудовані на основі таких послідовностей, мають рівні границі, то кажуть, що в точці функція має односторонню границю, у даному випадку ліву:

.

Аналогічно визначається правостороння границя:

 

.

 

Теорема 3.18. Для того щоб існувала границя функції при , необхідно і достатньо, щоб існували і були рівними її право- і лівосторонні границі (Без доведення).

 

 




Переглядів: 604

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Теореми порівняння | Арифметичні теореми про границю функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.