Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Розкриття невизначеностей

При пошуках границь функцій ми використовуємо властивості елементарних функцій та арифметичні теореми про границі послідовностей і функцій.

Приклади.

1) .

Маємо дробово-раціональну, елементарну функцію, область визначення якої . (Оскільки ми розглядаємо лише функції, що визначені на підмножинах , то в подальшому запис робити не будемо). Значення належить області визначення, отже, функція в цій точці неперервна і границя дорівнює значенню функції в цій точці:

.

 

2) .

Точка не належить області визначення, у цій точці функція не є неперервною. Розглянемо поведінку функцій, що знаходяться в чисельнику та знаменнику. Це поліноми, отже, їх області визначення – всі дійсні числа, і в кожній точці області визначення вони неперервні, зокрема в точці . Границею функції чисельника є число , отже, існує окіл точки, у якому вона обмежена. Границею ж знаменника є нуль, отже, при вона є нескінченно малою. За теоремою 3.23 обернена до неї функція є нескінченно великою, а добуток нескінченно великої на обмежену є нескінченно великою функцією, отже, границя нашої дробово-раціональної функції не існує.

 

3) .

Точка не належить області визначення, у цій точці функція не є неперервною. Границя знаменника дорівнює нулю, границя чисельника також: . Таким чином, при обидві функції є нескінченно малими. Така ситуація носить назву невизначеності і позначається так: .

 

 

Існує ще декілька видів невизначеності:

.

Продовжимо приклад. Оскільки при обидва поліноми дорівнюють нулю, то є коренем і чисельника, і знаменника.

 

Доведено теорему про розклад полінома: якщо - корінь полінома , то його можна розкласти на добуток: , де - поліном, степінь якого на одиницю менший за .

 

(Частинний випадок цієї теореми вивчається у шкільному курсі, це теорема про розклад квадратного тричлена на лінійні множники: , де - корені тричлена).

 

Знаменник розкладу не потребує, для розкладу чисельника знайдемо другий корінь: .

.

 

Після скорочення маємо границю полінома, який є неперервною функцією, отже, границя дорівнює значенню функції в даній точці:

.

Невизначеність виду , яка містить тригонометричні функції.

4) .

Скористаємося першою важливою границею. Для цього зробимо перетворення: . Позначимо . Тоді при отримаємо: .

5) .

Зробимо заміну змінних: . Тоді .

 

 

Помножимо чисельник та знаменник на

Невизначеність виду , яка містить ірраціональні вирази.

6) .

Оскільки при чисельник дорівнює нулю, то спряжений до нього вираз нулю не дорівнює. Помноживши чисельник та знаменник на цей вираз, ми позбавимось ірраціональності в чисельнику. Поліном, який при цьому утвориться, при дорівнює нулю, отже, це його корінь. Розклад чисельника на множники буде містити , який також буде множником знаменника.

Невизначеність виду .

7) .

Поділимо чисельник та знаменник на у степені полінома знаменника: . Якщо , тобто є нескінченно великою величиною, то обернені до нього функції є нескінченно малими, отже, їх добутки на сталі величини та суми є нескінченно малими. Таким чином, і чисельник, і знаменник мають границі, причому границя знаменника дорівнює . За теоремою про границю частки маємо:

.

 

8) .

Поділимо чисельник і знаменник на у степені полінома знаменника: . Границя знаменника , отже, можна скористатися теоремою про границю частки: = . Оскільки у знаменнику число, а в чисельнику нескінченно велика величина, границя нашої функції не існує, вона є нескінченно великою.

 

9. .

Поділимо чисельник і знаменник на у степені полінома знаменника: . Границя знаменника , границя чисельника 3, отже, за теоремою границя частки дорівнює .

Невизначеність виду .

10) .

Знайдемо границю основи: .

Показник степеня , отже, маємо невизначеність . Для її розкриття скористаємось другою важливою границею. Зробимо перетворення:

 

Степенева та показникові функції – елементарні, отже, неперервні. Відповідно до одного з означень неперервності функції, символи границі та функції комутативні, тому можна записати:

. Для знаходження границі основи зробимо заміну: . При , отже, за другою важливою границею: . Отримали: . Границю степеня знайдемо, поділивши знаменник та чисельник на : . Остаточно, границя дорівнює .

 

Завдання для самоперевірки

 

1. Знайдіть границі:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) . .

 




Переглядів: 1589

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Властивості функцій, неперервних на інтервалі | Точки розриву функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.