Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Геометричній зміст похідної

 

Розглянемо графік функції і точку , яка є внутрішньою точкою області визначення. Зокрема, це означає, що функція визначена в деякому околі .

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Точці на графіку відповідає точка . Проведемо через точку січну, яка перетинає графік у поточній точці . Позначимо . Різницю значень функції в цих точках позначимо:

.

Січна утворює з віссю абсцис кут, який дорівнює куту . Тангенс цього кута дорівнює і залежить від положення точки . Будемо пересувати точку до точки . При цьому січна буде повертатися навколо точки , а дуга прямуватиме до нуля.

Означення 4.4. Дотичною до графіка функції у точці називається граничне положення січної , яке вона займає, при тому що дуга .

Кут нахилу дотичної , буде знаходитися як границя кутів , при , що прямує до , тобто . Як відомо, кутовий коефіцієнт існує не у всіх прямих. Якщо , то кутовий коефіцієнт дотичної буде дорівнювати:

.

Отже, для випадку, коли дотична не перпендикулярна вісі абсцис, похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Якщо ж дотична перпендикулярна до вісі абсцис, то похідна не існує, .

Таким чином, між похідною та дотичною існує такий зв'язок: якщо існує похідна в точці, то до графіка функції у відповідній точці існує дотична, але якщо в точці існує дотична, то похідна в цій точці може не існувати.

 

Приклад. Розглянемо поведінку функції в точці . Дотична в цій точці існує і перпендикулярна до вісі абсцис, а похідна, , не існує.

 

Зауваження. Нехай функція визначена на відрізку . За означенням, похідна функції в точці є границею, а необхідною і достатньою умовою існування границі є існування та рівність односторонніх границь. Оскільки функція не визначена зліва від точки , то лівостороння границя тут не існує, отже, не існує границя взагалі, тобто похідна також не існує. Аналогічна ситуація в точці . Таким чином, якщо функція визначена на відрізку , то вона може мати похідну лише на інтервалі .

 

Теорема 4.1. (Зв'язок між похідною і неперервністю). Якщо існує похідна функції в точці , то функція неперервна у .

Доведення Якщо в точці існує похідна, то з означення похідної функції в точці та означення границі функції випливає, що прирощення функції можна подати у вигляді:

,

де - нескінченно мала величина при .

Таким чином, нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале прирощення функції, а це, за одним з означень неперервності, установлює неперервність функції в точці .

 

Зауважимо, що обернене твердження не є істинним. Прикладом є функція . У точці функція є неперервною, але похідна тут не існує. Дійсно, ця функція не є елементарною, оскільки визначається двома різними аналітичними виразами: . У точці ця функція неперервна: границя функції при існує: . Обидві односторонні границі існують і є рівними, отже, і дорівнює значенню функції в точці . У той же час похідна в цій точці не існує. Дійсно, будемо шукати похідну. Прирощення аргументу в точці дорівнює: , прирощення функції і становитиме при та при . Таким чином, лівостороння границя відношення прирощень, , а правостороння і вони не рівні, отже, границя не існує, тобто в цій точці похідна не існує. Це можна побачити на графіку функції:

 

 

Усі січні, які будуються зліва від , співпадають з графіком функції , а справа з графіком , тобто граничного положення січних не існує.

 




Переглядів: 745

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Диференціальне числення | Арифметичні теореми про похідну

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.