Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Властивості визначників

Властивість1. При транспонуванні визначника його значення не змінюється.

D = D1.

Із властивості 1 випливає, що рядки та стовпці визначника рів­ноправні. Усі наведені далі властивості, що справджуються для рядків, виконуються й для стовпців. ¨

Приклад. Для визначника другого порядку маємо:

.

 

Властивість2. Якщо всі елементи деякого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Оскільки кожний із доданків, що входять до визнач­ника, містить нульовий множник, то всі доданки дорівнюють нулю і визначник також дорівнює нулю. ¨

Приклад.

Властивість 3. Якщо всі елементи будь-якого рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визнач­ника.

Доведення. Кожний із доданків, що входять до визначника, містить один із елементів розглядуваного рядка. Тому спільний множник елементів цього рядка можна виносити із суми цих доданків. ¨

Приклад. Обчислимо визначник:

.

Властивість 4. Якщо поміняємо місцями два рядки визначника, то він змінить свій знак.

.

 

Властивість 5. Якщо у визначнику два рядки однакові, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Поміняємо місцями однакові рядки визначника. Він при цьому не зміниться, а згідно з властивістю 4 лише змінить свій знак, тобто D = –D. Звідси випливає, що D = 0. ¨

 

Приклад. Для визначника третього порядку виконується рівність:

,

оскільки цей визначник має два однакові рядки.

 

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні до відповідних елементів іншого рядка, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Винесемо множник пропорційності за знак визнач­ника й дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю. ¨

Властивість 7. Якщо у визначнику D всі елементи будь-якого рядка є сумою двох доданків, то цей визначник є сумою двох визначників, усі елементи яких (крім фіксованого рядка) збігаються. У першому визначнику фіксований рядок містить перші доданки, у другому визначнику фіксований рядок містить другі доданки.

Доведення. Візьмемо k-й рядок. Оскільки до кожного з доданків, що утворюють визначник, входить один із елементів k-го рядка, то можна в загальному вигляді записати розклад визначника за елементами цього рядка:

.

 

Множники називаються алгебраїчними доповненнямиелементів . Якщо
ці елементи є сумами двох доданків то

що й доводить сформульовану властивість. ¨

 

Приклад. За властивістю 7 маємо:

.

Властивість 8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого його рядка, помноживши на одне й те саме число, то значення визначника при цьому не зміниться.

Доведення. Додамо до елементів k-го рядка визначника D елементи s-го його рядка , помножені на число l. Здобутий визначник набере такого вигляду D1:

Останній доданок дорівнює нулю, бо визначник має однакові k-ті та s-ті рядки. Отже, D1 = D. ¨

 

Приклад. Маємо рівність визначників:

.

Із доведення властивостей 7 і 8 випливають розглянуті далі властивості визначників.

Властивість 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка або стовпця визначника на відповідні алгебраїчні доповнення дорівнює цьому визначнику, тобто якщо

,

то справджуються рівності:

 

Властивість 10. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю:

.

Аналогічна властивість виконується для стовпців:

.

Приклад. Обчислимо визначник четвертого порядку

.

· Додамо перший рядок до другого і четвертого, утворивши визначник

.

Поміняємо місцями перший і третій стовпці:

.

Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього і четвертого рядків:

.

Віднявши третій рядок від четвертого, обчислимо даний визначник за формулою (1):

.

 

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

 

 

Тема 2




Переглядів: 862

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розклад визначника за елементами рядків та стовпців | Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.