• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.

Мета заняття Засвоєння понять похідної за напрямом та градієнта; розвивати логічне мислення, виховувати інтерес до математики.

Студенти повинні знати: поняття диференційованості функції багатьох змінних; формули похідної за напрямом та градієнта функції.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідну за напрямом та градієнт функції.

Основні питання теми

1.Поняття диференційованої функції в точці;

2.Неперервність диференційованої функції;

3.Існування частинних похідних диференційованої функції;

4.Достатня умова диференційованості;

5.Повний диференціал та його застосування до обчислення функцій і похибок.

6.Диференціали вищих порядків;

7.Похідна за напрямом;

8.Градієнт;

9.Приклади

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Якщо кожній парі чисел (х;у) є D за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині D визначено функцію z = f(х;у), яка називається...

а)неявною функцією б)параметричною функцією

в)каноничною функцією г)функцією двох змінних

2.Якщо функція z = f(М) диференційовна в точці м, то вона в цій точці...

а)розривна б)екстремальна

в)неперервна г)стала

3.Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u(x;y;z) в точці М(х;у;z) називається...

а)градієнтом функції б)ортом функції

в)полем функції г)напрямком функції

4.Лінію, що обмежує область визначення D називають...

а)областю визначення функції б)межею області визначення

в)графіком функції г)лінією рівня

5.Швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі...

а)градієнта б)області визначення

в)похідної за напрямом г)множини значень

6.Градієнт суми двох функцій ...

а)дорівнює добутку градієнтів цих функцій б)не існує

в)сумі градієнтів цих функцій г) дорівнює 0

7.Похідна за напрямом вектора, що перпендикулярний до градієнта...

а)дорівнює 0 б)не існує

в)дорівнює 1 г)дорівнює 5

Завдання для самоперевірки

1.Знайти похідну функції u = х² – 2хz + у² в точці А(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки В(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі.

2.Знайти найбільшу швидкість зростання поля u = х^у - z в точці М(1;2;3).

3.Знайти похідну функції у точці за напрямом, що утворює із осями координат рівні гострі кути.

4.Знайти похідну функції у точці за напрямом від точки М до точки .

5. Знайти похідну функції у точці за напрямом вектора , де .

6. Знайти похідну функції у точці за напрямом, що утворює з осями координат кути відповідно 60°, 45°, 60°.

7. Знайти похідну функції у точці за напрямом найбільшого зростання функції.

8.Знайти функції у точці за напрямом бісектриси четвертого координатного кута.

9. Знайти у точці , якщо .

10.Знайти величину і напрям в точці , якщо .

11. Знайти кут між градієнтами функції у точках і .

12. Знайти кут між градієнтами функції у точ­ках та .

13.Знайти в точці кут між градієнтами функцій: та .

14.Знайти напрям найбільшої зміни функції
у початку координат.

15. Знайдіть точку, в якій градієнт функції
дорівнює .

16. Функції та — диференційовні. Доведіть, що:

а) ;

б) .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.6, стор. 294- 318.

Лекція „Диференційовність функції двох змінних”

мал. 1

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним х та у приростів Dх і Dу так, щоб точка не виходила за межі зазначеного околу. Тоді й точки ,

також потраплять у цей окіл(мал. 1).

Означення. Різницю називають повним приростом функції за х та упри переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х функції , а різницю — частинним приростом за уцієї функції. Позначають ці прирости відповідно і . Отже,

Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

Переглядів: 3593