МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Класичне визначення ймовірностіЙмовірність - одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Приведемо визначення, що називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення і приведемо інші визначення, що дозволяють перебороти недоліки класичного визначення. Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них - червоні, 3 - сині і 1 - біла. Очевидно, можливість вийняти навмання з урни кольорову (тобто червону чи синю) кулю більша, ніж можливість витягти білу кулю. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число і називають ймовірністю події (появи кольорової кулі). Таким чином, ймовірність є число, що характеризує ступінь можливості появи події. Поставимо перед собою завдання дати кількісну оцінку можливості того, що узята навмання куля кольорова. Появу кольорової кулі будемо розглядати як подію А. Кожний з можливих результатів випробування (випробування полягає у діставанні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарною подією). Елементарні події позначимо через і т.д. У нашому прикладі можливі наступні 6 елементарних результатів: - з’явилася біла куля; - з’явилася червона куля; - з’явилася синя куля. Легко бачити, що ці результати утворять повну групу попарно несумісних подій (обов’язково з’явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (кулю виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані). Ті елементарні результати, у яких подія, що нас цікавить, настає, назвемо такими, що сприяють цій події. У нашому прикладі сприяють події А (появі кольорової кулі) наступні 5 результатів: . Таким чином, подія А спостерігається, якщо в випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних результатів, що сприяють А; у нашому прикладі А спостерігається, якщо наступить або або або або . У цьому розумінні подія А підрозділяється на кілька елементарних подій (); елементарна ж подія не підрозділяється на інші події. У цьому полягає розходження між подією А і елементарною подією (елементарним результатом). Відношення числа сприятливих події А елементарних результатів до їх загального числа називають ймовірністю події А і позначають через Р (А). У розглянутому прикладі усього елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А. Отже ймовірність того, що взята куля виявиться кольоровою, дорівнює Р (А) = 5/6. Це число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі, що ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення ймовірності. Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою
де m - число елементарних результатів, що сприяють події А; n - число всіх можливих елементарних результатів випробування. Тут передбачається, що елементарні результати несумісні, рівноможливі й утворюють повну групу. З визначення ймовірності випливають наступні її властивості:
Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці. Дійсно, якщо подія достовірна, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m=n, отже, Властивість 2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю. Дійсно, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів іспиту не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже, Властивість 3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, укладене між нулем і одиницею. Дійсно, випадковій події сприяє лише частина з загального числа елементарних результатів випробування. У цьому випадку , отже виходить, що , отже, Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійній нерівності Далі будуть приведені теореми, що дозволяють за заданими ймовірностями одних подій знаходити ймовірності інших подій. Зауваження. Сучасні строгі курси теорії ймовірностей побудовані на теоретико-множинній основі. Обмежимося викладенням мовою теорії множин тих понять, що розглянуті вище. Нехай у результаті іспиту настає одна і тільки одна з подій ...Події називають елементарними подіями (елементарними результатами). Уже звідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч усіх елементарних подій які можуть з’явитися у випробуванні, називають простором елементарних подій , а самі елементарні події - точками простору . Подію А ототожнюють з підмножиною (простору ), елементи якого є елементарні результати, що сприяють події А; подія В є підмножина , елементами якої є результати, що сприяють В, і т.д. Таким чином, множина усіх подій, що можуть наступити у випробуванні, є безліч усіх підмножин . Саме настає при будь-якому результаті випробування, тому - достовірна подія; порожня підмножина простору - неможлива подія (вона не настає ні при якому результаті випробування). Відмітимо, що елементарні події виділяються з числа всіх подій тим, що кожна з них містить тільки один елемент . Кожному елементарному результату ставлять у відповідність позитивне число - ймовірність цього результату, причому . За визначенням, ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють події . Звідси легко отримати, що ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, неможливої – нулю, довільної – знаходиться між нулем та одиницею. Розглянемо важливий частковий випадок, коли всі результати рівноможливі. Число результатів дорівнює , сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці, значить ймовірність кожного результату дорівнює . Нехай події сприяє результатів. Ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей результатів, що сприяють : P(A)=1/n+1/n+…1/n. З огляду на те, що число складових дорівнює , маємо P(A)=m/n. Отримано класичне визначення ймовірності.
Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події і її ймовірності. У системі аксіом, запропонованій О.М. Колмогоровим, невизначуваними поняттями є елементарна подія і ймовірність. Приведемо аксіоми, що визначають ймовірність: 1. Кожній події А поставлено у відповідність невід’ємне дійсне число Р(А). Це число називається ймовірністю події А. 2. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці: P () =1. 3. Ймовірність настання хоча б однієї із попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей і залежності між ними виводять в якості теорем. Читайте також:
|
||||||||
|