Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Теорема множення ймовірностей

Розглянемо дві події: А і В, ймовірності Р(А) і РА(В) яких відомі. Як знайти ймовірність суміщення цих подій, тобто ймовірність того, що з’явиться і подія А і подія В? Відповідь на це питання дає теорема множення.

Теорема. Ймовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступила:

.

Доведення. За визначенням умовної ймовірності,

.

Звідси

. (*)

Зауваження. Застосувавши формулу (*) до події ВА, одержимо

,

чи, оскільки подія ВА не відрізняється від події АВ,

. (**)

Порівнюючи формули (*) і (**), робимо висновок про справедливість рівності

. (***)

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з’явились:

,

де - ймовірність події , обчислена в припущенні, що події наступили. Зокрема, для трьох подій

.

Відмітимо, що порядок, у якому розташовані події, може бути обраний будь-яким, тобто байдуже яку подію вважати першою, другою і т.д.

Приклад 1. У складальника є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий - еліптичний.

Розв’язок. Ймовірність того, що перший валик виявиться конусним (подія А),

.

Ймовірність того, що другий валик виявиться еліптичним (подія В), обчислена в припущенні, що перший валик - конусний, тобто умовна ймовірність

.

За теоремою множення шукана ймовірність

.

Відмітимо, що, зберігши позначення, легко знайдемо: , , , що наочно ілюструє справедливість рівності (***).

Приклад 2. В урні знаходиться5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання виймають одну кулю, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля (подія А), при другому - чорна (подія В) і при третьому - синя (подія С).

Розв’язок. Ймовірність появи білої кулі в першому випробуванні

.

Ймовірність появи чорної кулі в другому випробуванні обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з’явилась біла куля, тобто умовна ймовірність

.

Ймовірність появи синьої кулі у третьому випробуванні, обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з’явилася біла куля, а в другому - чорна, тобто умовна ймовірність

.

Шукана ймовірність

.


Читайте також:

  1. Аксіоми додавання і множення
  2. Безстатеве розмноження та його біологічне значення
  3. Безстатеве розмноження, його визначення та загальна характеристика. Спори — клітини безстатевого розмноження, способи утворення і типи спор.
  4. В. Друга теорема про розклад.
  5. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  6. Властивості ймовірностей
  7. Вступ у теорію ймовірностей
  8. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
  9. Друга теорема Вейєрштрасса
  10. Економіко-правові проблеми примноження національного багатства.
  11. Загальна характеристика дроб’янок, їх класифікація. Ціанобактерії. Будова та форми клітин справжніх бактерій. Способи живлення і розмноження бактерій
  12. Інтегральна теорема Лапласа




Переглядів: 3855

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Умовна ймовірність | Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.