Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Властивості скалярного добутку.

1. .

Справедливість цієї властивості випливає з означення.

2. .

Доведення. .

3. .

Доведення.

.

4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини:

.

Доведення. .

Зокрема, .

Якщо добути корінь із скалярного квадрата вектора, то отримаємо не початковий вектор, а його модуль , тобто .

5. Якщо ненульові вектори і ортогональні, то їх скалярний добуток рівний нулю і навпаки, якщо скалярний добуток двох ненульових векторів рівний нулю, то ці вектори ортогональні.

Доведення. Так як , то , а отже і .

Якщо і , , то і .

Зокрема, .

Приклад 6.1.Знайти , якщо , , , ,

.

Розв’язок.

. t

Приклад 6.2.Знайти довжину вектора ,якщо , ,

.

Розв’язок.

t

Скалярний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .

Знайдемо скалярний добуток цих векторів, перемноживши їх як многочлени згідно властивостям 1 – 3:

.

Згідно властивостям 4, 5, отримаємо:

. (6.3)

Таким чином, скалярний добуток векторів рівний сумі добутків їх однойменних координат.

За формулою (6.3) маємо

, (6.4)

звідки

. (6.5)

Приклад 6.3.Знайти довжину вектора .

Розв’язок. t

Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані точки , .

Відстань між двома точками і рівна

. (6.6)

Так як , то кут між ненульовимивекторами і визначається за формулами:

,

тобто

. (6.7)

З останньої формули випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і :

. (6.8)

Нехай кути, які утворює вектор з осями координат , , , відповідно рівні . Тоді проекції вектора на осі координат рівні

, , . (6.9)

Звідси

, , . (6.10)

Числа , , називаються напрямними косинусами вектора .

Підставивши вирази (6.9) в рівність (6.4), отримаємо

.

Скоротивши на , отримаємо співвідношення

.

Приклад 6.4.Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин , , , , взаємно перпендикулярні.

Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на діагоналях даного чотирикутника:

; .

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

.

Згідно властивості 5, вектори і перпендикулярні, що й треба було довести. t

Приклад 6.5.Дано трикутник з вершинами в точках , , . Знайти проекцію сторони на сторону .

Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на сторонах даного трикутника:

; .

З формули (6.2) знаходимо

. t

Приклад 6.6.Знайти кут між векторами і , якщо , .

Розв’язок. За формулою (6.7) знаходимо

,

. t

Приклад 6.7.Знайти напрямні косинуси вектора , якщо , .

Розв’язок. Знайдемо координати і довжину вектора :

,

.

За формулами (6.10)

, , . t

 


Читайте також:

  1. Аеродинамічні властивості колісної машини
  2. Аналізатори людини та їхні властивості.
  3. Аналізатори людини та їхні властивості.
  4. Атрибутивні ознаки і властивості культури
  5. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
  6. Біосфера Землі, її характерні властивості
  7. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
  8. Будова і властивості аналізаторів
  9. Векторная функция скалярного аргумента.
  10. Векторний добуток і його властивості.
  11. Види і властивості радіоактивних випромінювань
  12. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).




Переглядів: 3040

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Скалярний добуток векторів | Векторний добуток векторів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.008 сек.