Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Імпульс виду

Імпульс визначається виразом (мал.2.9)

(2.27)

рис.2.9

Замість обчислення спектральної щільності скористаємося властивістю взаємозамінності і в перетвореннях Фур'є для парних функцій часу.

Спектральна щільність імпульсу визначається формулою

Із спектральної щільності прямокутного імпульсу, після заміни на і на заданої функції буде відповідати спектр прямокутної форми (мал.2.10). Залишається лише знайти площу цього спектру і його рівень.

мал.2.10

Для цього можна порівняти абсцису з аналогічною абсцисою . При заміні на (або навпаки) необхідно виходити з відповідності , тобто , звідки випливає, що є шукана ширина спектру

Рівень спектра можна визначити за його значенням в точці , для якої дорівнює площі імпульсу:

Отже, остаточно

(2.28)

2.5.5 Група однакових і рівностоячих імпульсів (пачка імпульсів)

На самостійне опрацювання. Гоноровський ст.41-54.

Лекція№3. Подання сигналів з обмеженою смугою частот у вигляді ряду Котельникова

У теорії і техніці сигналів широко використовується теорема Котельникова (теорема відліків): якщо найвища частота в спектрі функції менше, ніж , то функція повністю визначається послідовністю значень у момент часу, віддалені один від одного не більше ніж на секунд.

Відповідно до цієї теоремою сигнал обмежений по спектру найвищої частотою , можна уявити рядом

(3.1)

У цьому виразі позначає інтервал між двома відліковими точками на осі часу, а - вибірка функції в момент часу .

Вивчення функцій рядів ілюструє мал.3.10:

мал.3.1

функція виду

(3.2)

має такі властивості:

1. в точці , а в точках , де - будь-яке ціле позитивне чи негативне число, відмінне від

2. спектральна щільність функції рівномірна в смузі частот і дорівнює .

Так як функція відрізняється від тільки зрушенням на осі часу на , то спектральна щільність функції

(3.3)

Ряд (3.1) точно визначає заданий сигнал в точках відліку, оскільки коефіцієнти ряду є самі вибірки з функції, тобто величини .

Розглянемо випадок коли тривалість сигналу конечна і дорівнює , а смуга частот дорівнює . При цьому випадку і певних припущеннях загальне число незалежних параметрів (тобто значень ), яка необхідна для повного завдання сигналу, очевидно буде

При цьому виразі (3.1) приймає вигляд (при відліку часу від першої вибірки):

(3.4)

Число іноді називають числом степенів свободи сигналу , а іноді і базою сигналу.

Енергію і середню потужність сигналу неважко виразити через задану послідовність тимчасових вибірок.

Середня за час потужність безперервного сигналу дорівнює середньому квадрату вибірки, число яких дорівнює .

3.1 Дискретизовані сигнали

Дискретні сигнали виникають у тих випадках, коли джерело повідомлень видає інформацію у фіксовані моменти часу.

Дискретний сигнал: його значення визначені лише в рахунковому множині точок. Дискретний сигнал являє собою послідовність відлікових значень сигналу в точках відповідно.

3.1.1 Дискретизована послідовність

На практиці, відліки дискретних сигналів беруть у часі через рівний проміжок , званий інтервалом (кроком) дискретизації:

Операцію дискретизації, можна описати, вводячи в розгляд узагальнену функцію

звану дискретизованою послідовністю.

Дискретний сигнал являє собою функціонал, визначений на множині всіляких аналогових сигналів і рівний скалярному твору функцій і :

(3.5)

Формула (3.5) вказує шлях практичної реалізації пристрою для дискретного сигналу. Робота дискретизатора заснована на операції стробування - перемноження сигналу і гребінчатої функції (мал.3.2)

мал.3.2

3.1.2 Спектральна щільність дискретних сигналів

Дискретний сигнал з точністю до коефіцієнта пропорційності дорівнює добутку функції і дискретизуючій послідовності :

(3.6)

Відомо, що спектр твори двох сигналів пропорційний згортку їх спектральних густин. Тому якщо відомі закони відповідності сигналів і спектрів:

то спектральна щільність дискретизованого сигналу

(3.7)

Щоб знайти спектральну щільність дискретизуючої послідовності, розкладемо періодичну функцію в комплексний ряд Фур'є:

Коефіцієнти цього ряду

Виходячи з фільтруючих властивостей дельта функції отримуємо

(3.8)

тобто спектр дискретизуючої послідовності складається з нескінченної сукупності дельта-імпульсів у приватній області. Дана спектральна щільність є періодичною функцією з періодом

Підставимо формулу (3.8) в (3.7) і змінивши порядок проходження операцій інтегрування і підсумовування, знаходимо

(3.9)

Спектр сигналу, отриманого в результаті дискретизації нескінченно короткими стробубчими імпульсами, являє собою суму нескінченного числа "копій" спектру вихідного аналогового сигналу. Копії розташовуються на осі частот через однакові інтервали , рівні значенням кутової частоти першої гармоніки дискретизуючої імпульсної послідовності.

мал.3.3

3.1.3 Відновлення безперервного сигналу з дискретного сигналу

Аналоговий сигнал підданий дискретизації, може бути абсолютно точно відновлений за допомогою ідеального ФНЧ на вхід якого подається імпульсна послідовність виду (3.6).

Нехай фільтр, який відновлює безперервний сигнал, має частотний коефіцієнт передачі

Імпульсна характеристика цього фільтра описується виразом

Беручи до уваги, що дискретний сигнал є зважена сума дельта-імпульсів, знаходимо відгук на вході відновлюючого фільтра

(3.10)

Даний сигнал з точністю до масштабуючого множника повторює вихідне коливання з обмеженим спектром.

Ідеальний фільтр НЧ фізично не реалізуємо. Тому на практиці використовують ФНЧ з умовою, сто частотний коефіцієнт передачі фільтра повинен охоплювати не більше однієї пелюстки спектральної діаграми дискретного сигналу, або концентруватися біля нульової частоти і бути значно вже центрального пелюстки.

мал.3.4

3.2 Визначення спектра аналогового сигналу за сукупністю відліків

Маючи дискретизований сигнал, можна не тільки відновити аналоговий сигнал, але знайти його спектральну щільність. Для цього слід пов'язати спектральну щільність дискретизованого сигналу з відліковими значеннями:

(3.11)

З іншого боку, спектральна щільність була визначена (3.9). Тому справедливе співвідношення

(3.12)

відоме як формула підсумовування Пуассона.

Однозначно знайти функцію , знаючи нову частину (3.12) можна якщо відомо, що вихідний сигнал має спектр низькочастотного виду, що задовольняє умові теореми Котельникова. Тоді очевидно, що спектр аналогового сигналу

(3.13)

Вираз (3.13) визначає спектр аналогового сигналу.

Лекція№4. Дискретне і швидке перетворення Фур'є

4.1 Дискретне перетворення Фур'є

Спектральна щільність дискретизованого сигналу визначається виразом

(4.1)

Згідно (4.1) спектр континуального дискретизованого сигналу суцільний. Але він є таким лише за умови, що обсяг вибірки тимчасових відліків сигналу нескінченний.

У практичних додатках ми завжди маємо справу з кінцевою вибіркою відліків сигналу. Більше того з багатьох причин бажано обчислити ПФ на ЕОМ, це означає, що необхідно розглядати кінцеве число дискретних відліків.

Припустимо, що тимчасова функція представлена послідовністю з відліків , , де період дискретизації в тимчасовій області. З обчислювальної точки зору зручно допустити також, що спектр представлений послідовністю з відліків ,де період дискретизації у приватній області.

Буде виходити з припущення, що - вибіркової часової послідовності сигналу ставляться відповідно - вибіркова послідовність із частотної області.

Замінивши в (4.1) безперервну величину дискретної і поклавши межею змінної значення , отримаємо

(4.2)

Вираз (4.2) повністю дискретний, як у часі, так і за частотою і тому підходить для обчислень на ЕОМ.

Якщо в (4.2) покласти , то отримаємо

(4.3)

при такому визначенні отримаємо значень гармонік спектру.

4.1.1 Амплітудно-фазові характеристики частотних каналів ДПФ

Процесор ДПФ володіє частотними властивостями. Зокрема, якщо частота вхідного сигналу збігається з однією з резонансних частот процесора, відповідний частотний канал буде володіти максимальним відгуком, тоді як відгук всіх інших каналів будуть рівні нулю. Якщо частота вхідного сигналу відхилиться від резонансної, то відгук даного каналу ослабне і одночасно з'явиться "дзвін" в усіх частотних каналах.

Виберемо деякий -й з частотних каналів і визначимо його реакцію на дискретний комплексно-експонентний сигнал при зміні частоти сигналу від до (від до частоти дискретизації).

Введемо аналітичний опис цього дискретного сигналу. Введемо тимчасову функцію для аналогового прототипу сигналу

(4.4)

причому змінюється від до .

Переходячи в (4.4) від безперервного часу к дискретного часу і вважаючи, що , де , отримаємо

(4.5)

де - частота дискретизації.

Вважаючи обсяг вибірки заданим визначимо комплексним відгуком - го каналу за формулою

(4.6)

де ,

(4.7)

а задано співвідношенням (4.5)

Підставляючи (4.7) і (4.6) в (4.6), отримаємо

(4.8)

Позначивши - частотний рознос каналів процесора Фур'є перетворимо (4.8) до вигляду

(4.9)

Співвідношення (4.9) повністю визначає як амплітудно-частотну так і фазо-частотну характеристику каналу процесора Фур'є.

4.1.2 Швидке перетворення Фур’є

Класичні форми прямого і зворотного ДПФ хоча і прості і легко реалізовані на ЕОМ, проте їх практичне застосування обмежується великим обсягом обчислень, які ростуть в квадратичній залежності від обсягу вибірки. .

Існують різні способи збереження обсягу обчислень спектра, які призводять до так званого алгоритму швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). Алгоритми ШПФ засновані на усуненні надмірності обчислень в класичному ДПФ.

Ця надмірність проглядається в періодичності фазового множника при якій

, в силу того, что

Не торкаючись теоретичних основ побудови ШПФ перейдемо до викладу основних етапів перетворення, які призводять до ШПФ із проріджуванням за часом.

Найбільш проста форма ШПФ виходить при рівному степеню 2, тобто коли . Число показує кількість ступенів перетворення.

Етап 1. Вхідні відліки тимчасової функції (при ) піддається двійковій-інверсній перестановці (ДІП). Ідея ДІП полягає в наступному: двійковий код номера відліку переставляється, формуючи новий номер відліку:

Етап 2. Формується дерево ШПФ, спосіб побудови якого для и зображено на мал.4.1 і мал.4.2

мал.4.1

мал.4.2

основу дерева ШПФ складають так звана операція типу "метелика", яка відображена на мал.4.3, на ньому ж представлений алгоритм роботи "метелика".

мал.4.3

Етап 3. Реалізація операцій "метелика" послідовно по щаблях, починаючи з "молодшої".

Мнемонічне правило розстановки ваг ребер операцій типу "метелика" полягає в наступному: число показників степеня, починаючи з нульової фазового множника останнього щабля перетворення одне , де - обсяг вибірки, наприклад, для 8-точкового ШПФ цим і множниками є

Для попередньої щаблі дерева ряд вагових коефіцієнтів проріджується за рахунок викидання парних множників. У результаті такого проріджування залишаються множники і нарешті на першому щаблі перетворення залишається лише один фазовий множник (рис.4.2)

Для прикладу обчислимо по дереву ШПФ (мал.4.2)

Розрахуємо за алгоритмом ДПФ

Ці вирази збігаються тому, що

так як вагові коефіцієнти періодичні (мал.4.4)

мал.4.4

4.1.3 Швидке перетворення Фур'є в базисах Уолша.

ДПФ в базисі дискретних експоненційних функцій (ДЕФ) передбачає виконання великого числа комплексних множень, вимагають істотних витрат машинного часу, що обмежує можливість його практичного застосування. Існує широкий клас систем базисних функцій, у яких перетворення Фур'є зводиться до алгебраїчних перетворень над дискретними відліками. До такого класу відносяться функції Уолша. Найбільше застосування знайшли функції Уолша, Уолша-Адамара, Уолша-Пелі.

Розглянемо ДПФ в базисі функцій Уолша-Адамара.

Базис Уолша-Адамара вводиться за допомогою т.зв. матриць Адамара, які будуються на підставі наступного рекурентного правила

Позначаючи через матрицю Адамара розмірності , дискретний спектр можна записати в матричній формі наступним чином

(4.10)

де - вектор-стовпець вхідного сигналу,

- вектор-рядок дискретного спектру.

Поведемо обчислення в базисі Уолша-Адамара для .

Складемо матрицю Адамара

Легко переконатися в тому, що до матриці Адамара можна прийти, вважаючи в дереві БПФ всі вагові коефіцієнти ребер графа рівні 1.

Операція "метелик" зводиться до обчислень

тобто процесор Фур'є в базисі Уолша-Адамара обчислює дискретний спектр використовуючи лише найпростіші арифметичні операції підсумовування і віднімання відліків сигналу.

На ряду з базисом Уолша-Адамара існують базис Уолша-Пелі і класичний базис Уолша.

Лекція№5

1. Кореляційний аналіз детермінованих сигналів.

Взаємний енергетичний спектр сигналів

Характеристика сукупності двох сигналів визначається виразом

, (5.1)

Їх скалярний добуток, пропорційне взаємній енергії цих сигналів.

Якщо сигнали тотожно збігаються, тобто коли , то скалярна сума переходить в енергію сигналу

Знайдемо зв'язок між скалярним добутком сигналів і їх спектральними щільностями.

Покладемо, що обидва сигнали і у співвідношенні (5.1) задані відповідними спектральними щільностями и . Згідно зворотному перетворенню Фур'є маємо

;

Підставимо запис сигналу у вираз (5.1)

а потім змінивши порядок інтегрування в часі і частоті отримаємо

Внутрішній інтеграл в останній формулі-це спектральна щільність сигналу , обчислена при заперечності значень аргументу, тобто

Далі будемо вважати, що розглянуті сигнали описуються дійсними функціями часу. тоді

, (5.2)

Де - спектральна щільність, комплексно-сполучена з спектральної щільністю .

Співвідношення (5.2) називається узагальненою формулою Релея (або рівністю Парсеваля).

Якщо у вираз (5.1) сигнал запишемо зворотним перетворенням Фур'є, то отримаємо:

. (5.3)

Із зіставлення виразів (5.2) і (5.3) маємо, що скалярний добуток двох сигналів (або взаємна енергія двох сигналів) прямо пропорційно скалярному добутку спектральних щільностей цих сигналів, причому спектральна щільність одного з сигналів повинна бути представлена в комплексно-сполученній формі.

Коефіцієнтом пропорційності є множник .

Оскільки для будь-якого комплексного числа

то можна ввести дійсну функцію

, (5.4)

яка дозволяє висловити скалярний добуток речових сигналів и наступним чином:

. (5.5)

Функцію називають взаємним енергетичним спектром сигналів и :

Взаємний енергетичний спектр двох сигналів дорівнює дійсній частині добутку спектральної щільності одного з сигналів і комплексно-сполученої спектральної щільності іншого сигналу

Формула (5.5) розкриває структуру зв'язку двох сигналів. Виявляється, що у формуванні взаємної енергії різні ділянки спектру сигналів грають у загальному випадку неоднакову роль. Найбільший внесок забезпечують ті частотні області, в яких спектри сигналів перекриваються.

Із співвідношень (5.4) і (5.5), зокрема, випливає, що якщо спектральні щільності сигналів и не перекриваються на осі частот ,то як взаємний енергетичний спектр , так і скалярний добуток цих сигналів стає рівним нулю. Такі сигнали називаються ортогональними.

Прикладом ортогональних сигналів слугують сигнали і спектральні щільності яких зображені на мал.5.1.

Мал.5.1

Очевидно, що ортогональними є так само сигнали і , не перекриваючі в часовому просторі (мал.5.2).

Мал.5.2

Енергетичний спектр сигналу

Спектральне уявлення енергії сигналу легко отримати, як окремий випадок узагальненої формули Релея (5.3). Так, якщо сигнали і однакові і , то формула (5.3) набуває вигляду

Ліва частина даного виразу дорівнює енергії сигналу , тобто

а добуток спектральних густин у правій частині

Являє собою дійсну функцію, рівну квадрату модуля спектральної щільності сигналу , тобто

З вироблених співвідношень випливає, що енергетичний спектр сигналу дорівнює квадрату модуля його спектральної щільності

, (5.6)

а повна енергія сигналу пов'язана з його енергетичним спектром співвідношенням

. (5.7)

Вираз (5.7) констатує важливий результат: енергія будь-якого сигналу може бути представлена як результат підсумовування вкладів енергій гармонік сигналу, розташованих у непересічних частотних інтервалах його енергетичного спектра.

При вивченні сигналів за допомогою їх енергетичних спектрів неминуче втрачається інформація, яка укладена в фазовому спектрі, оскільки енергетичний спектр є квадрат модуля спектральної щільності і не залежить від її фази. Зокрема, при енергетичному підході всі сигнали, однакові за формою, але розрізняються своїм розташуванням на осі часу, виступають як абсолютно рівноправні і не різні сигнали.

Автокореляційна функція

Для кількісного визначення ступеня відзнаки сигналу та його зміщеною в часі копії прийнято вводити автокореляційну функцію (АКФ) сигналу , рівну скалярному добутку сигналу і копії:

. (5.8)

Надалі будемо припускати, що досліджуваний сигнал має локалізований у часі імпульсний характер, так, що інтеграл виду (5.8) завідомо існує.

Безпосередньо видно, що при автокореляційна функція стає рівною енергії сигналу:

. (5.9)

До числа найпростіших властивостей АКФ можна віднести її парність:

. (5.10)

Важлива властивість АКФ полягає в наступному: при будь-якому значенні тимчасового зсуву модуль АКФ не перевершує енергії сигналу:

. (5.11)

Цей факт безпосередньо випливає з нерівності Коші-Буняковського

. (5.12)

АКФ представляється симетричною кривою з центральним максимумом, який завжди позитивний. При цьому залежно від виду сигналу АКФ може мати монотонно спадаючий характер, так і коливний характер.

Зв'язок між енергетичним спектром сигналу і його автокореляційною функцією

Автокореляційна функція сигналу у виразі (5.6) є функція часу . Тому може скластися враження, що методи кореляційного аналізу виступають, як деякі особливі методи, які не мають прямого зв'язку зі спектрами сигналів. Однак існує тісний зв'язок між АКФ і енергетичним спектром сигналу.

Дійсно АКФ є скалярний добуток

де .

Скориставшись узагальненою формулою Релея (5.3), можна записати рівність

Спектральна щільність зміщення у часі сигналу

і тому .

Таким чином, приходимо до важливого результату:

Квадрат модуля спектральної щільності являє собою енергетичний спектр сигналу, тобто

Отже, енергетичний спектр і автокореляційна функція сигналу пов'язані зворотним перетворенням Фур'є

, (5.13)

а отже, існує і пряме перетворення Фур'є:

. (5.14)

Вирази (5.13) і (5.14) утворюють пару інтегральних перетворень Фур'є для автокореляційної функції сигналу і його енергетичного спектра.

Зв'язок між АКФ і енергетичним спектром представляє встановити зовсім очевидний критерій існування сигналу із заданими кореляційними властивостями. Енергетичний спектр будь-якого сигналу , за визначенням має бути позитивним. Дана умова буде виконуватися не при будь-якому виборі АКФ. Наприклад, якщо взяти

(тобто АКФ являє собою прямокутний імпульс амплітудою і тривалістю ) і обчислити відповідне перетворення Фур'є, то виявляється, що

Ця знакозмінна функція не може представляти собою енергетичний спектр сигналу, оскільки енергія не може приймати від'ємних значень.

Взаємокореляційна функція двох сигналів.

Принцип визначення взаємокореляційної функції: узагальнюючи вираз (5.8), назвемо взаємокореляційною функцією двох дійсних сигналів и скалярний добуток вигляду.

. (5.15)

Доцільність подібної інтегральної характеристики сигналів видно з наступного прикладу. Нехай сигнали і в початковому стані ортогональні, так, що

При проходженні цих сигналів через різні пристрої можливо, що сигнал буде зміщений щодо сигналу на деякий час . Ясно, що ВКФ служить мірою "стійкості" ортогонального стану при зміщеннях сигналів у часі.

Взаємокореляційна функція єдиним чином описує як різницю в формі сигналів, так і їх взаємне розташування на осі часу.

Деякі властивості взаємокореляційної функції. Якщо у формулі (5.15) замінити змінну інтегрування, ввівши , так що , то очевидно, можливий і такий запис:

. (5.16)

Тому

. (5.17)

На відміну від АКФ одиночного сигналу ВКФ, що описує властивості системи двох неоднакових сигналів, не є парною функцією аргументу : .

Якщо сигнали мають кінцеві енергії, то їх ВКФ обмежена. Це твердження випливає з нерівності Коша-Буняковського:

Звідки

, (5.18)

Так як зміщення сигналу в часі не впливає на значення його норми.

Слід відзначити те, що при значення ВКФ не зобов'язані досягти максимуму.

Зв'язок ВКФ із взаємною спектральної щільністю

Висловимо ВКФ двох сигналів через їх спектральні характеристики.

На підставі узагальненої формули Релея

І оскільки спектр зміщеного в часі сигналу

, то

. (5.19)

Маючи на увазі, що величина є взаємний енергетичний спектр сигналів і , визначений у нескінченному інтервалі частот , приходимо до висновку: взаємокореляційна функція і взаємний енергетичний спектр двох сигналів пов'язані парою перетворень Фур'є.

Лекція№6

Модульовані сигнали. Спектри модульованих сигналів.

Сигнали, що надходять з джерела повідомлень, як правило, не можуть бути безпосередньо передані по радіоканалу. Справа не тільки в тому, що ці сигнали недостатньо великі по амплітуді. Набагато істотніше їх відносна низькочастотність. Щоб здійснити ефективну передачу сигналів в якій-небудь фазі, необхідно перенести спектр цих сигналів з низькочастотної області в область досить високих частот. Дана процедура має назву модуляції.

6.1 Сигнали з амплітудною модуляцією.

Поняття несучого коливання. Ідея способу, що дозволяє переносити спектр сигналу в область високих частот, полягає в наступному. У передавачі формується допоміжний високочастотний сигнал, званий несучим коливанням. Його математична модель така, що є деяка сукупність параметрів , визначаючих форму цього коливання. Нехай - низькочастотне повідомлення, яке підлягає передачі. Якщо, принаймні, один із зазначених параметрів вимірюється в часі пропорційно переданому повідомленню, то несуче коливання набуває нову властивість - воно несе в собі інформацію, яка спочатку була укладена в сигналі .

Фізичний процес управління параметрами несучого коливання і є модуляцією.

У техніці широке поширення отримали системи модуляції, які використовують в якості несучого просте гармонійне коливання

, (6.1)

що має три вільних параметра .

Змінюючи в часі той чи інший параметр, можна отримувати різні види модуляції.

Принцип амплітудної модуляції. Якщо змінною виявляється амплітуда сигналу , причому інші два параметри незмінні, то існує амплітудна модуляція несучого коливання.

Форма запису амплітудно-модульованого, або АМ-сигналу, така:

. (6.2)

Осцилограма АМ-сигналу має характерний вигляд (мал.6.1). Звертає на себе симетрія графіка відносно осі часу. Згідно з формулою АМ-сигналу є добуток огибаючої і гармонійного заповнення .

Мал.6.1

При амплітудній модуляції зв'язок між огинаючою і моделюючим корисним сигналом прийнято визначати наступним чином:

(6.3)

Основним параметром АМ-коливання є коефіцієнт модуляції.

Визначення цього поняття особливо наочно для тональної модуляції, коли моделююча функція є гармонійним коливанням:

Огинаюча модульованого коливання при цьому можна представити у вигляді

, (6.4)

де - частота модуляції; - початкова фаза огинаючої; - коефіцієнт пропорційності; - амплітуда зміни огинаючої (мал.6.2).

Мал.6.2

Відношення

називається коефіцієнтом модуляції.

Таким чином, миттєве значення модульованого коливання

. (6.5)

При спотвореній модуляції амплітуда коливання змінюється в межах від мінімальної до максимальної .

Однотональний амплітудна модуляція. Найпростіший АМ-сигнал може бути отриманий у разі, коли модулюючим низькочастотним сигналом є гармонійне коливання з частотою . Такий сигнал

,називається однотональним АМ-сигналом.

Можливо такий сигнал представити як суму простих гармонійних коливань з різними частотами. Використовуючи формулу добутку косинусів з виразу (6.5) отримуємо

(6.6)

Формула (6.6) встановлює спектральний склад однотонального АМ-сигналу. Прийнята наступна термінологія: - несуча частота, - верхня бічна частота, - нижня бічна частота. Користуючись формулою (6.6) можна побудувати спектр однотонального АМ-сигналу слід звернути увагу на рівність амплітуд верхнього і нижнього бічних коливань, а також на симетрію розташування цих спектральних складових щодо несучого коливання.

Рис.6.3

Енергетичні характеристики АМ-сигналу. Джерело однотонального АМ-сигналу еквівалентний трьом послідовно включеним джерелам гармонійних коливань:

Мал.6.4

Покладемо, що джерела ЕРС з'єднані послідовно і навантажені на одиничний резистор. Тоді миттєва потужність АМ-сигналу буде чисельно дорівнювати квадрату сумарної напруги

. (6.7)

Щоб знайти середню потужність сигналу, величину необхідно усереднити по досить великому відрізку часу :

При усередненні всі взаємні потужності дадуть нульовий результат, тому середня потужність АМ-сигналу виявиться рівною сумі середніх потужностей несучого і бічних коливань:

. (6.8)

Звідси випливає, що

. (6.9)

Так, навіть при 100% модуляції частка потужності обох бічних коливань складає всього лише 50% від потужності не модульованого коливання (несучого). Оскільки інформація про повідомлення укладена в бічних коливаннях, можна відзначити неефективність використання потужності при передачі АМ-сигналу.

6.2 Амплітудна модуляція при складному моделюючому сигналі.

На практиці однотональні АМ-сигнали використовуються рідко. Набагато більш поширений випадок, коли модулюючий низькочастотний сигнал має складений спектральний склад. Математичною моделлю такого сигналу може бути, наприклад, тригонометрична сума

. (6.10)

Підставляючи (6.10) в (6.3), отримаємо

. (6.11)

Введемо сукупність парціальних (часткових) коефіцієнтів модуляції

(6.12)

І запишемо аналітичний вираз багато тонального АМ-сигналу у формі, яка узагальнює вираз (6.5)

. (6.13)

Спектральний розклад проводяться також як і для однотонального АМ-сигналу:

(6.14)

У спектрі багато тонального АМ-сигналу крім несучого коливання, містяться групи верхніх і нижніх бічних коливань. Спектр верхніх коливань є масштабною копією спектра модулюючого сигналу, зміщеної в область високих частот на величину . Спектр нижніх бічних коливань також повторює спектральну діаграму сигналу , але розташовану дзеркально щодо несучої частоти .

Ширина спектра АМ-сигналу дорівнює подвоєному значенню найвищої частоти в спектрі модулюючого низькочастотного сигналу.

Лекція № 7

Сигнали з кутовою модуляцією.

Сигнали з кутовою модуляцією отримують за рахунок того, що в несучому коливанні (гармонійному коливанні) передане повідомлення змінює або частоту , або початкову фазу ; амплітуда залишається незмінною.

7.1. Сигнали з фазовою модуляцією

Математична модель сигналу з кутовою модуляцією задається виразом

Повний фазовий кут сигналу з фазовою модуляцією пов'язаний з модулюючим сигналом залежністю

де - частота несучого коливання (гармонійного); - коефіцієнт пропорційності.

Миттєве значення сигналу з фазовою модуляцією визначається виразом

, (7.1)

Якщо модулюючий сигнал відсутній, то фазо-модульоване коливання стає простим гармонійним.

При збільшенні сигналу повна фаза зростає в часі швидше, ніж за лінійним законом, який формується складовою . При зменшенні модулюючого сигналу відбувається спад швидкості росту в часі. На мал.7.1 зображений приклад однотонального ФМ-сигналу.

Мал.7.1

По мірі зростання (на інтервалі часу) модулюючого сигналу за рахунок збільшення повної фази сигналу з фазовою модуляцією випереджає модульоване коливання. коли сигнал , що має місце в момент часу , значення ФМ-сигналу збігається зі значенням модулюючого коливання (через рівність фаз цих коливань, так як ). Навпаки, при зменшенні (при переході в негативну область) модулюючого сигналу (на інтервалі часу ) сигналу з фазовою модуляцією відстає (по фазі) від модулюючого коливання. У ті моменти часу, коли досягає екстремальних значень, абсолютна величина фазового зсуву між ФМ-сигналом і немодульованим гармонійним коливанням виявляється найбільшою. Граничне значення цього фазового зсуву називається девіацією фази , причому в загальному випадку, коли сигнал змінює свій знак, прийнято розрізняти девіацію фази вгору:

і девіацію фази вниз:

Якщо модулі и однакові, то .

Розглянемо найпростіший модулюючий сигнал - одно тональний гармонійне коливання на частоті

де - амплітуда модулюючого коливання.

Математична модель ФМ-сигналу прийме вигляд

, (7.2)

а повний фазовий кут цього коливання

, (7.3)

де - девіація фази ФМ-сигналу.

Миттєва частота сигналу з кутовою модуляцією визначається як перша похідна від повної фази за часом

так, що

7.2 Сигнали з частотною модуляцією

Якщо в сигналах з фазовою модуляцією модулюючий сигнал впливав на фазу модулюючого сигналу, то для сигналів з частотною модуляцією сигнал управляє миттєвим значенням частоти модулюючого сигналу за законом

де - частота модулюючого коливання; - коефіцієнт пропорційності.

Повна фаза ЧМ-коливання визначається виразом

(7.4)

і становить

. (7.5)

Загальне співвідношення для миттєвого значення ЧМ-сигналу

. (7.6)

Для одно тональний ЧМ-сигналу де повідомлення

де S- амплітуда; - кутова частота сигналу .

Підставивши повідомлення в сигнал з частотною модуляцією отримаємо

, (7.7)

де .

- прийнято називати девіацією частоти ЧМ-сигналу.

Девіація частоти одно тонального частотно-модульованого коливання прямо пропорційна амплітуді модулюючого сигналу і не залежить від частоти цього сигналу.

Миттєве значення частотно-модульованого коливання з одно тональним низькочастотним модулюючим сигналом

(7.8)

де - індекс одно тональної кутової модуляції.

Між фазо-і частотно-модульованим коливаннями існує багато спільного. Зокрема, обидва види коливань з кутовою модуляцією, в залежності від АМ-сигналу, володіють постійною за часом амплітудою коливань. Осцилограми ФМ - і ЧМ-сигналів практично невиразні.

Разом з тим, кожному виду сигналів з кутовою модуляцією притаманні свої характерні особливості, а саме: ЧМ і ФМ-сигнали ведуть себе по-різному при зміні частоти модуляції і амплітуди модулюючого сигналу.

При частотній модуляції величина девіації частоти пропорційна амплітуді модулюючого сигналу і не залежить від його частоти .

Девіація частоти при фазовій модуляції прямо пропорційна не тільки амплітуді низькочастотного сигналу, але і лінійно збільшується із зростанням його частоти.

7.3 Спектральна розкладання ЧМ-і ФМ-сигналів при малих індексах модуляції

Сигнали з кутовою модуляцією допомогою суми гармонійних коливань нескладно уявити у разі коли . Для цього перетворимо формулу

наступним чином:

(7.9)

Оскільки індекс кутової модуляції малий, скористаємося наближеними рівностями

На підставі цього з рівності (7.9) отримуємо

. (7.10)

У спектрі сигналу з кутовою модуляцією при містяться несуче коливання і дві бічні складові (верхня і нижня) на частотах и . Індекс модуляції тут відіграє таку ж роль, як і коефіцієнт амплітудної модуляції .

7.4 Більш точний аналіз спектрального складу сигналів з кутовою модуляцією

Вираз (7.9) можна уточнити, скориставшись двома частинами ряду в розкладанні гармонійних функцій малого аргументу. При цьому вираз (7.9) буде виглядати так:

Після тригонометричних перетворень отримаємо результат:

(7.11)

Ця формула свідчить про те, що в спектрі сигналу з одно тональною кутовою модуляцією, крім відомих складових, міститься так само верхні і нижні бічні коливання, відповідні гармонікам частоти модуляції (мал.7.2)

Мал.7.2

Спектр такого сигналу складніше аналогічного АМ-сигналу. Виникнення нових спектральних складових призводить до перерозподілу енергії по спектру. Так з виразу (7.11) видно, що із зростанням амплітуда бічних складових збільшується, в той час як амплітуда несучого коливання зменшується пропорційно множнику .

7.5 Спектр сигналу з кутовою модуляцією при довільному значенні індексу модуляції

Для випадку одно тонального ЧМ- або ФМ-сигналу можна знайти загальний вираз спектру, справедливе при будь-якому значенні індексу модуляції .

З математики відомо, що експонента з уявним показником статечного виду, періодична на відрізку , розкладається в комплексний ряд Фур'є:

, (7.12)

де - будь-яке дійсне число; - функція Бесселя -го порядку (індексу) від аргументу .

Підставляючи перепишемо вираз (7.9) так

. (7.13)

Звідси отримуємо математичну модель ЧМ- або ФМ-сигналу з будь-яким значенням індексу модуляції:

. (7.14)

Спектр одно тонального сигналу з кутовою модуляцією в загальному випадку містить нескінченне число складових частоти яких дорівнюють ; амплітуди цих складових пропорційно значенням .

Функції Бесселя з позитивними і негативними індексами пов'язані між собою:

Тому початкові фази бічних коливань з частотами і збігаються, якщо - парне число і відрізняються на , якщо - непарне.

Важливо відзначити, що із зростанням індексу модуляції розширюється смуга частот, займана сигналом. Зазвичай вважають, що припустимо знехтувати всіма спектральними складовими з номером . Звідси випливає оцінка практичної ширини спектра сигналу з кутовою модуляцією

. (7.15)

Лекція №8

Основні характеристики випадкових процесів. Види випадкових процесів.

8.1. Випадкові величини та їх характеристики.

Щоб фізична система могла виконувати певні функції, до неї має бути докладено вимушений вплив (вхідний сигнал). В окремих випадках при аналізі таких систем можна розглядати вхідні сигнали як детерміновані, і які мають просте математичне уявлення. Однак на практиці такі сигнали рідко зустрічаються. Навпаки, поведінка вхідного сигналу найчастіше невизначено і непередбачено, у зв'язку з чим його слід розглядати як випадковий. Є безліч таких прикладів: мовні сигнали; випадкові сигнали, отримані в ході вимірювання деяких характеристик і т.д.

На входах і виходах багатьох систем, крім корисних сигналів присутні і небажані обурення. Вони майже завжди випадкові за своєю природою. Якщо, наприклад, сигнал з виходу підсилювача з великим коефіцієнтом підсилення подається на гучномовець, то останній тріски, шарудіння і клацання.

Радіоприймач може приймати антеною перешкоди, пов'язані з роботою промисловості і транспорту; електромагнітних бур; космічних променів.

Отже, якби навіть і можна було створити ідеальні приймачі та підсилювачі, прийнятий сигнал все одно виявився б змішаним з шумом. І знову визначення середньої потужності і частотного спектра може принести велику користь, ніж миттєве значення сигналу.

Так само, як і детерміновані випадкові величини мають свої характеристики.

Ймовірність. З усіх підходів до визначення ймовірності найчастіше використовують два: відносно-частотний і аксіоматичний.

В основі теорії ймовірностей лежить поняття повної безлічі "елементарних фіналів" або випадкових подій

. Кожній події складено дійсне число , яке називається ймовірністю цієї події.

Приймаються наступні аксіоми:

1. ймовірність не негативна і не перевищує одиниці: ;

2. якщо и - несумісні події, то ;

3. сума всіх подій, що містяться в , є достовірна подія:

Вимірювання ймовірностей. Загально прийнято оцінювати ймовірність події відносної частоти сприятливих результатів. Якщо проведено незалежних випробувань, причому в з них спостерігалася подія , емпірична (вибіркова) оцінка ймовірності , яку можна отримати з цієї серії, така:

. (8.1)

Функція розподілу і щільність ймовірності.

Нехай - випадкова величина. Опис статистичних властивостей можна отримати, розташовуючи невипадковою функцією дійсного аргументу, яка дорівнює ймовірності того, що випадкове число з прийме значення, рівне або менше конкретного :

Функція називається функцією розподілу випадкової величини . Якщо може приймати будь-які значення, то є гладкою не спадною функцією, значення якої лежить на відрізку . Мають місце такі граничні рівності:

Похідна від функції розподілу є щільність розподілу ймовірності (або щільність ймовірності даної випадкової величини.

Очевидно, що , тобто величина є ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал .

Для неперервної випадкової величини щільність ймовірності являє собою гладку функцію.

Щільність ймовірності повинна бути невід’ємною: і задовольняти умові нормування

Усереднення. Моменти випадкової величини. Результатами експериментів над випадковими величинами, як правило, служать середні значення тих чи інших функцій від цих величин. Якщо - відома функція від , то, за визначенням, її середнє значення

(8.2)

Слід зауважити наступне: найбільший внесок у середнє значення дають ті ділянки осі , де одночасно великі як усереднена функція , так і щільність ймовірності .

В електроніці широко застосовуються особливі числові характеристики випадкової величини, звані моментами. Момент -го порядку випадкової величини є середнє значення -й ступеня випадкової змінної:

. (8.3)

Простими є моменти першого порядку, математичне сподівання

, , (8.4)

яке служить теоретичною оцінкою середнього значення випадкової величини (в електроніці це постійна складова напруги або струму).

Момент другого порядку

, (8.5)

Є середнім квадратом випадкової величини.

Використовуються також центральні моменти випадкових величин, що задаються наступною формулою:

. (8.6)

Найважливіший центральний момент - так звана дисперсія.

, (8.7)

Очевидно, що

. (8.8)

Величина , тобто квадратний корінь з дисперсії, називається середнім квадратичним відхиленням, яке служить для кількісного опису заходи розкиду результатів окремих випадкових випробувань.

Рівномірний розподіл. Нехай деяка випадкова величина може приймати значення, що належать лише відрізку , причому ймовірність попадання в будь-які внутрішні інтервали однакової ширини рівна. Тоді щільність ймовірності

Функцію розподілу знаходять шляхом інтегрування:

Математичне сподівання

Природно збігається з центром відрізка .

Дисперсія випадкової величини, що має рівномірний розподіл ймовірності

Гаусовий (нормальний) розподіл. У теорії випадкових сигналів фундаментальне значення має гаусова щільність ймовірності

, (8.9)

містять два числових параметра и . Графік цієї функції являє собою дзвіноподібну криву з єдиним максимумом в точці (мал.8.1)

Мал.8.1

Безпосереднім обчисленням можна переконатися, що параметри гаусового розподілу мають сенс відповідно математичного сподівання і дисперсії: .

Функція розподілу гаусової випадкової величини

Заміна змінної дає

. (8.10)

Тут - не елементарна функція, так званий інтеграл ймовірностей:

Графік функції (мал.8.2) має вигляд монотонної кривої, що змінюється від нуля до одиниці.

Мал.8.2

Щільність ймовірності функції від випадкової величини.

Нехай - випадкова величина, пов'язана з однозначною функціональною залежністю виду . Потрапляння випадкової точки в інтервалі шириною і потрапляння випадкової точки в інтервал, що йому відповідає шириною (мал.8.3) є еквівалентними подіями, тому ймовірності їх збігаються: .

Мал.8.3

Звідси

, (8.11)

де - функція, обернена по відношенню до .

Якщо функціональний зв'язок між і неоднозначний, так, що є декілька зворотних функцій , то формула (8.11) узагальнюється наступним чином:

. (8.12)

Характеристична функція. У теорії ймовірностей велику роль грає статистичне середнє виду

, (8.13)

зване характеристичної функцією випадкової величини . З точністю до коефіцієнта функції є перетворення Фур'є від щільності ймовірності, тому

. (8.14)

Для випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку ,

; (8.15)

для гаусової випадкової величини із заданими

. (8.16)

За допомогою характеристичної функції зручно знаходити щільність ймовірності випадкової величини, підданої функціональному перетворенню.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Зсув спектру сигналу	\|	Випадковий процес

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.063 сек.