Та методи їх розв’язання.

Тема 4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Поведінка великої кількості об’єктів зовнішнього світу задовільно описується системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв’язування систем лінійних рівнянь – це одна з головних задач обчислювальної математики. Вона грає важливу роль у прикладних методах математичної статистики, економіки, міжнародних відносинах та в багатьох інших направленнях.

У загальному випадку система лінійних алгебраїчних рівнянь має вигляд

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +….+ a₁n_xn = b₁

a₂₁x₂+ a₂₂x₂+….+ a₂n_xn= b₂

……………………………… (1)

a_mx₁ + a_m2x₂+….+ a_mnx_n= b_m

Де x₁, x₂,… ,x_n - невідомі, що потрібно знайти;

a₁₁, a₁₂,…,a_mn – задані дійсні числа.

Задані числа a_ij називають коефіцієнтами системи ( i = , j = ).

Кожному коефіцієнту приписані індекси. Перший індекс вказує номер рівняння, у якому знаходиться даний коефіцієнт, а другий індекс – номер невідомого, перед яким цей коефіцієнт стоїть.

Числа b₁, b₂,...,b_m – називаються вільними членами системи (i = ), вони вважаються відомими.

Необхідно відзначити, що для будь-якої системи можливі тільки три випадки:

· система не має жодного розв’язку;

· система має єдиний розв’язок;

· система має нескінчену множину розв’язків.

Коефіцієнти при невідомих системи рівнянь, що записані у вигляді матриці А:

називають матрицею коефіцієнтів системи.

Якщо кількість рівнянь системи m дорівнює кількості невідомих n, то система має квадратну матрицю А порядку n. У такому випадку визначник D = det A називаються визначником системи.

Вільні члени системи, що записані у вигляді матриці-стовпця В:

B = ,

називаються вектором-стовпцем вільних членів.

Невідомі системи x₁, x₂,… ,x_n,що записані у вигляді матриці-стовпця Х:

X = ,

називаються вектором-стовпцем невідомих.

Матриця коефіцієнтів системи, доповнена справа вектором-стовпцем вільних членів, називається розширеною матрицею коефіцієнтів системи.

Така матриця має вигляд:

Система може бути записана у матричній формі A × Х = В

A = [A] _mxn , Х = [X] _nx1 , В = [B] _mx1.

Якщо всі вільні члени b₁, b₂,..,b_m дорівнюють 0, то система називається однорідною, а якщо серед них є хоча б один не нульовий член, то система називається неоднорідною.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Метод виключення.	\|	Метод (правило) Крамера

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.