Рівняння збереження субстанції

Для визначення зміни будь-якої величини використовують два заходи: абсолютна зміна – як різниця двох значень за деякий проміжок часу й відносна зміна, віднесене до одиниці часу. Якщо в якості змінюваної величини брати субстанцію і її щільність, у загальному випадку диференцуємі, що залежать від часу й координат, то поле руху (зміни) субстанції повинне описуватися швидкостями й прискореннями зміни її стану в просторі, зайнятому субстанцією.

Є два методи опису руху контрольного елементарного обсягу в просторі. Це відомі методи Лагранжа й Эйлера. Основна відмінність між цими двома методами полягає в тому, що функціями часу є: у першому – координати контрольного обсягу (крапки), а в іншому – швидкості їх руху.

Для єдиної теорії, що розглядає локальні зміни в сингулярних крапках просторових траєкторій руху субстанції, кращим є метод Эйлера, за допомогою якого спостерігач відзначає характеристики руху (зміни) субстанції в околиці фіксованої крапки простору. Опис повного поля руху субстанції цим методом, по суті, полягає у встановленню миттєвих картин розподілу швидкостей і прискорень – основних характеристик розглянутого середовища.

Використовуючи метод Эйлера необхідно виразити зміну щільності субстанції в околиці деякої крапки через частки похідні по чотирьом незалежним змінним: x, y, z, t, одержати абсолютну зміну щільності субстанції у вигляді:

(12)

Відносна зміна щільності субстанції буде визначатися субстанціональної похідної

(13)

Компоненти переміщень не є незалежними й рівні: де где

Підставляючи ці величини у вищенаведене вираження, одержуємо

(14)

Інакше:

(15)

Це – повна або субстанціональна похідна, що представляє собою швидкість зміни щільності субстанції в околиці певної крапки простору в певний момент часу.

Використовуємо відомі перетворення: div = div qrad
qrad div div .

При div рівняння (15) має вид:

(16)

Розв'язку багатьох практичних завдань зводяться до умови, коли певне кількість субстанції залишається постійною величиною під час її руху. Це означає, що контрольований обсяг повністю ізольований і дана субстанція не взаємодіє із субстанцією навколишнього середовища або кількість вхідної й вихідної субстанції однаково.

Для зазначених умов кінетичні рівняння переносу субстанції (15) і (16) ухвалюють вид:

(17)

(18)

Рівняння (17) і (18) називаються рівняннями збереження субстанції, інакше, рівняннями сплошності й нерозривності потоку субстанції як матеріальної, так і нематеріальної. Якщо щільність субстанції не залежить від часу ( для стаціонарних процесів), то рівняння збереження субстанції будуть:

або (19)

У рівняннях збереження субстанції (17) і (18) слід виділити локальну складову залежну від часу, і конвективну - - div

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Принцип інерції	\|	Рівняння руху субстанції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.