Студопедия
Контакти
 


Тлумачний словник

Реклама: Настойка восковой моли




Похідні основних елементарних функцій

1. Похідна логарифмічної функції.Якщо , то

.

Доведення. Нехай х довільна точка із (0; ∞). Візьмемо приріст аргументу і знайдемо приріст функції

.

Отже,

.

Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи другу важливу границю, одержимо

, де , . Отже, .

Наслідок. При , маємо: .

 

2. Похідна показникової функції.Функція є оберненою до функції . Тоді, згідно з правилом диференціювання оберненої функції, знаходимо . Оскільки , то одержимо формулу . Зокрема, для , маємо .

3. Похідна степеневої функції.Функція при x>0 може бути представлена у вигляді . Використовуючи правила диференціювання показникової та складної функцій, одержимо

.

Якщо x<0, то функцію можна подати інакше: . Тоді .

Нехай . Вираз визначений тільки тоді, коли . У цьому випадку

.

Таким чином, приходимо до висновку: похідна степеневої функції може бути знайдена за формулою для будь-яких α і x, для яких має зміст права частина цієї формули.

Приклад. Знайти похідну функції . Використавши формулу для похідної степеневої функції, дістанемо:

4. Похідні тригонометричних функцій.Для знаходження похідної від функції скористаємося формулою , першою чудовою границею і неперервністю функції :

Скориставшись тригонометричною тотожністю і правилом диференціювання складної функції, одержимо

Для знаходження похідної функції використаємо формулу похідної частки двох функцій

.

Аналогічно

 

5. Похідні обернених тригонометричних функцій.Функція є оберненою для функції . Скориставшись формулою похідної від оберненої функції, одержимо:

Аналогічно функція є оберненою для функції . Отже,

Функція є оберненою для функції . Отже,

Аналогічно функція є оберненою для функції . Отже,

6. Диференціювання функцій, заданих неявно.Якщо функціональну залежність між у та х задано неявно, тобто рівністю , тоді для знаходження похідної функції у по х треба продиференціювати тотожність , враховуючи, що у залежить від х, а потім розв’язати рівняння, яке одержали, відносно : , .



Интернет реклама УБС

Приклад.Знайти похідну функції у, яка задана рівнянням і обчислити її значення в точці (2; 1).

Розв’язування. Диференціюючи обидві частини рівняння і враховуючи, що у залежить від х, одержимо , звідки .

Значення похідної при буде дорівнювати .

 




<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.001 сек.