Коефіцієнти асиметрії та варіації асиметрії

У випадку асиметричного розподілу певних показників ефективності (ЧПВ) аналіз лише середньоквадратичного відхилення як міри ризику може бути недостатнім. Особливо коли ці значення співпадають для кількох альтернативних об’єктів (проектів). У цьому випадку слід аналізувати як показник ризику таку числову характеристику випадкової величини, як коефіцієнт асиметрії. Його обчислюють за формулою:

As(X) = ,

де As(X) – коефіцієнт асиметрії. У випадку, коли в наявності є статистична інформація щодо показника ефективності Х, зібрана протягом T періодів, коефіцієнт асиметрії обчислюють за формулою:

As(X) = .

Якщо As(X) = 0, то графік функції щільності ймовірності для випадкової величини Х є симетричним відносно М(Х). Якщо розподіл ймовірностей є асиметричним, причому його «довга частина» («хвіст») розміщена праворуч від моди випадкової величини Мо(Х) (має правосторонній скіс, рис.13.1а), то зважена сума кубів додатних відхилень від М(Х)є більшою від суми кубів від’ємних відхилень.

Рисунок 13.1 – Функція щільності розподілу ймовірності
у випадках додатного (а)та від’ємного (б) коефіцієнтів асиметрії

Тоді, з урахуванням того, що s(Х)>0, отримуємо, що As(X)>0. Аналогічно отримуємо, що As(X)<0у випадку, коли функція щільності має лівосторонній скіс (рис.13.1б) і «хвіст» розподілу виступає ліворуч.

Якщо Х=Х⁺, то за решти рівних умов серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) меншим ризиком обтяжений той об’єкт ( ), для якого виконується умова:

тобто As(X⁺) = As⁺(X⁺). Це пояснюється тим, що несприятливі відхилення від сподіваного значення з відносно великою ймовірністю розташовані для обраного об’єкта ліворуч найближче до сподіваного значення (менше відхиляються від нього в несприятливий бік) порівняно з іншими, а сприятливі значення значно віддалені від сподіваної величини (ці значення – «хвіст» – розташовані праворуч).

У зв’язку з цим можна вважати, що критерій максимальної асиметрії є критерієм, який забезпечує мінімальний ризик по відношенню до несприятливих відхилень від сподіваного результату (для задач максимізації показників ефективності).

Як міру ризику можна використовувати також величину :

Очевидно, що оцінка має негативний інгредієнт , а тому перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого вона є мінімальною:

Для відносного вираження ризику з урахуванням As⁺(X⁺) можна використовувати коефіцієнт варіації асиметрії:

Очевидно, що CVAs(X⁺) = CVAs^–(X⁺), тобто перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого CVAs^–(X⁺) приймає найменше значення:

Використання коефіцієнта асиметрії можливе і тоді, коли показники ефективності об’єкта (проекту) містять негативний інгредієнт, тобто (сподівані збитки, затрати). У цьому випадку більш ефективним рішенням будуть відповідати менші значення коефіцієнта асиметрії, а тому серед m альтернативних рішень оптимальним буде те, для якого

(у цій ситуації As(X^–) = As^–(X^–)).

Можна скористатись також критеріями:

Зауваження 13.1.Під час прийняття рішень критерії, які базуються на оцінках As(X) та As(X), слід використовувати тоді, коли M(X_i)=M(X_j); i, j = 1, ..., m або ж M(X_i)»M(X_j). Оцінки CVAs(X)використовуються тоді, коли M(X_i) ¹ M(X_j), i, j = 1, ..., m.

Приклад 13.3. Результати спостережень за нормами прибутку портфелів цінних паперів А і В протягом минулих п’яти періодів наведено в табл.13.4.

Таблиця 13.4

Період	Норма прибутку (%)
R_A	R_B

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів. Потрібно оцінити коефіцієнти асиметрії для норм прибутку портфелів цінних паперів і прийняти оптимальне рішення щодо інвестування.

Розв’язання. Для портфеля цінних паперів виду А маємо:

Для портфеля В:

Отже, виходячи з того, що As⁺(R_A)>As⁺(R_B), або

(R_A)< (R_B), або CVAs^–(R_A)<CVAs^–(R_B), приходимо до висновку, що менш ризикованим є портфель цінних паперів А і інвестиції слід робити в цей портфель.

Отриманий у цьому прикладі результат повністю узгоджується з висновком, зробленим у рішенні прикладу 13.2.

Приклад 13.4.

Результати спостережень за нормами прибутків портфелів цінних паперів А і В подано в табл.13.5.

Таблиця 13.5

Період	Норма прибутку (%)
R_A	R_B
		3,6

		7,2

		1,2

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів цінних паперів. Використовуючи в якості міри ризику коефіцієнт варіації асиметрії, вибрати портфель цінних паперів, що обтяжений мінімальним ризиком.

Розв’язання. Для портфеля цінних паперів А маємо:

R_A= ; M⁺(R_A)=4;s ^–(R_A) = 2; As⁺(R_A) = 1,8;

(R_A) = 0,357; CVAs^–(R_A) = 0,089.

Для портфеля В:

R_B= ; M⁺(R_B) = 4,8; s ^–(R_B) = 2,4; As⁺(R_B) = – 1,8;

(R_B) = 2,8; CVAs^–(R_B) = 0,583.

Оскільки M⁺(R_A) < M⁺(R_B), то в якості міри ризику доцільно використати коефіцієнт варіації асиметрії. Враховуючи, що

CVAs^–(R_A) = 0,089 < 0,583 = CVAs^–(R_B),

найменший ризик має портфель А.

Отриманий у цьому прикладі результат повністю узгоджується з висновком, зробленим у рішенні прикладу 13.2.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Правила визначення знака інгредієнта	\|	Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.