МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
ОПЕРАТОРНИЙ МЕТОД АНАЛIЗУ ЛЕК
Iдея операторного методу полягає в тому, що з областi функцiй дiйсного змiнного розв'язання задачі аналізу переноситься до областi функцiй комплексного змiнного . Iнтегральне перетворення Лапласа дозволяє перетворити у : . (8.1) Формула (8.1) є прямим перетворенням Лапласа. Функцiя зветься оригiналом, а функцiя - зображенням. Не всi функцiї можуть знаходитись у просторi оригiналiв. На накладаються такі обмеження: 1) - кусково-неперервна; 2) (функцiя тотожно дорiвнює нулю при вiд'ємних значеннях t); 3) , де М i - позитивнi дiйснi сталi. Тобто збiльшується не швидше показникової функцiї (має обмежене зростання). Друга умова виконується зсувом початку вiдлiку. Перша i третя умови завжди виконуються для реального генератора. Отже, функцiї, якi описують реально можливi дiї i тим бiльш вiдповiднi до них реакцiї, завжди можуть бути перетворенi за Лапласом. Iнтегральне перетворення Лапласа має двi основнi властивостi: єдинiсть та лiнiйнiсть. Перша означає, що мiж зображенням та оригiналом iснує взаємоодно-значна вiдповiднiсть: якщо , то . Друга властивiсть дозволяє застосувати принцип суперпозицiї: Якщо , то . Загальна схема операторного способу визначення вiдгуку , якщо вiдома дія , має вигляд:
Простiр оригiналiв Простiр зображень ® ® ® ® ® ® ¯ ¬ ¬ ¬¬ ¬ ¬
Перевага операторного методу полягає у тому, що у просторi оригiналiв операцiї приймають простiший вигляд, а саме: замiсть вихiдних iнтегро-диференцiйних рiвнянь отримують алгебраїчнi рiвняння; далi розв'язуються алгебраїчнi рiвняння в областi ; потiм результат, що отримано, переводиться знову до простору оригiналiв. Розглянемо бiльш докладно етапи розв'язання. 1. Перехiд вiд до . Виконується трьома основними способами: 1) за формулою прямого перетворення Лапласа. Наприклад, якщо , то . Якщо , . 2) за таблицями, якi попередньо розраховано i наведено у довiдниках; 3) використовуючи властивостi перетворення Лапласа, якi сформульовано у теоремах. Основнi теореми такi: а) теорема диференцiювання оригiналу: , (8.2) де - значення функцiї, яку диференціюють, в точцi при наближеннi до неї справа. За нульових початкових умов . б) теорема iнтегрування оригiналу ; (8.3) в) теорема зсуву оригiналу (теорема запiзнення) ; (8.4) г) теорема зсуву зображення . (8.5) 2. Перехiд вiд до . Також виконується кiлькома способами: 1) за таблицями; 2) за теоремою розкладання. Згiдно з цiєю теоремою, якщо має вигляд рацiонального дробу , де - степеневі полiноми, причому степiнь чисельника менша за степiнь знаменника i має n рiзних коренiв, тобто , тодi , (8.6) де . У цьому випадку оригiнал кожного з доданкiв (8.6) є експонентою. Формула (8.6) справедлива для простих (непарних) коренiв. Для парних коренiв теорема розкладання ускладнюється. 3) за формулою оберненого перетворення Лапласа . (8.7) Безпосередньо формулою (8.7) не користуються. Якщо , то обчислюється як сума лишкiв . Лишки визначаються в особливих точках . Розглянемо як приклад коло, яке складається з послiдовно з’єднаних опору та iндуктивностi. До кола вмикається джерело постiйної е.р.с. E. Пiсля замикання ключа коло описується диференцiйним рiвнянням . Нехай функцiї вiдповiдає зображення . За теоремою диференцiювання в областi рiвняння приймає вигляд . За нульових початкових умов () матимемо . Отже, отримуємо алгебраїчне рiвняння , з якого знайдемо . Скористаємось теоремою розкладання: , де ; . Отже, . Для переходу вiд зображення до оригiналу скористаємось властивiстю лiнiйностi та формулами вiдповiдностi, які розглянуто вище: .
8.1 Закон Ома i закони Кiрхгофа в операторнiй формi. Нульовi початковi умови
Розглянемо як приклад послiдовний коливальний контур, до якого увімкнено джерело е.р.с. Дано: ; . Початковi умови нульовi: ; . Згiдно з другим законом Кiрхгофа ; . Подамо напругу на ємностi у виглядi двох iнтегралiв: . Тодi . (8.8) Перетворимо (8.8) за допомогою прямого перетворення Лапласа: . Вiдповiдно до законiв комутацiї за нульових початкових умов ; . Тодi . (8.9) Позначивши ; ; , матимемо запис другого закону Кiрхгофа в операторнiй формi: . (8.10) Позначимо - операторний опiр резистора; - операторний опiр iндуктивностi; - операторний опiр ємностi. Слiд зазначити, що при , ; ; , тобто комплекснi опори ємностi та iндуктивностi - окремий випадок операторного опору. Якщо винести у формулi (8.9) за дужки, отримаємо , де - операторний опiр кола. Тодi матимемо закон Ома в операторнiй формi: . (8.11) Розглянемо перший закон Кiрхгофа в операторнiй формi на прикладi кола, яке складається з паралельно з’єднаних опору, ємностi та iндуктивностi. Згiдно з цим законом загальний струм i становить: ; . Аби застосувати перетворення Лапласа, розпишемо . Тодi . Враховуючи, що ; , матимемо . Оскiльки початковi умови нульовi (; ), то . (8.12) Позначивши ; ; , отримуємо запис першого закону Кiрхгофа в операторнiй формi . (8.13) Згiдно з цим законом сума зображень струмiв, якi входять до вузла, дорiвнює сумi зображень струмiв, що витiкають з вузла. Iнакше (8.12) можна записати , (8.14) де - операторна провiднiсть кола. З (8.14) отримуємо закон Ома в операторнiй формi . Пiдсумок. За нульових початкових умов етап складання системи диференцiйних рiвнянь для кола, що аналiзується, та її перетворення можна замiнити складанням системи алгебраїчних рiвнянь i розв'язанням цієї системи стандартними методами теорiї кiл в операторнiй формi. Читайте також:
|
||||||||
|