МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
СПОСОБИ ВИЗНАЧЕННЯ ОПЕРАТОРНИХ ФУНКЦIЙ
Iснує кiлька способiв визначення операторних функцiй. Перед тим, як їх розглянути, зробимо кiлька попереднiх зауважень. 1. Операторна передатна функцiя не залежить вiд вигляду дії, а тiльки вiд параметрiв кола. 2. Оскiльки справедливi закони теорiї кiл в операторнiй формi, можна не складати диференцiйних рiвнянь, а обмежитись алгебраїчними рiвняннями. Перший спосiб. Визначення операторної функцiї за законами Ома i Кiрхгофа в операторнiй формi. Знайдемо операторний коефiцiєнт передачi за напругою на прикладi схеми (рис.10.1а). Згiдно з визначенням .
а) б)
Рисунок 10.1
Нехай ; ; . Тодi слушнi спiввiдношення: ; . Вхiдний опiр кола становить: . Пiдставивши вирази для зображень напруг до формули , матимемо: . Визначимо сталу часу для даного кола. Для цього розглянемо схему в режимi вiльних коливань, тобто коли джерело е.р.с. замкнено. Тодi еквiвалентний опiр кола вiдносно ємностi становить (рис.10.1б). Отже, . Тодi вираз для матиме вигляд: . (10.1) Якщо коло складніше, використовують потужнiші способи, наприклад, метод вузлових напруг. Другий спосiб. Визначення операторної функцiї за допомогою методу вузлових напруг. Розглянемо ЛЕК, яку зображено на рис.10.2а. Нехай загальна кiлькiсть вузлiв у колi дорiвнює M. Оскiльки один вузол (M-й) заземлюється, кiлькiсть незалежних вузлiв дорiвнює n = M-1. а) б)
Рисунок 10.2
Знайдемо операторний коефiцiєнт передачi за напругою . За методом вузлових напруг формула для розрахунку вузлової напруги має вигляд . (10.2) В операторнiй формi (10.2) можна записати , (10.3) де [] - операторна матриця провiдностей; - операторнi вузловi струми, s = 1,2, ... k, ... n. Операторна матриця складається вiдповiдно до схеми ЛЕК: . Дiагональний елемент - це арифметична сума операторних провiдностей всiх тих елементiв, якi з’єднані з вузлом з номером k. Якщо , то - провiднiсть вiтки, яка увiмкнена мiж k-м та s-м вузлами. Для лiнiйних електричних кiл , тобто матриця операторних провiдностей симетрична вiдносно головної дiагоналi. Нехай на входi кола дiє джерело струму , (тобто s = 1). Викори-стовуючи матрицю , за формулою (10.3) розрахуємо вузловi напруги ; . (10.4) Тодi . (10.5) Розрахувавши вiдношення алгебраїчних доповнень матрицi , якi входять до формули (10.5), отримаємо вiдношення полiномiв чисельника та знаменника , кожний з яких мiстить тiльки цiлi степенi аргументу : . (10.6) З формули (10.5) виходить, що операторна передатна функцiя є дробовою рацiональною функцiєю (ДРФ) з дiйсними коефiцiєнтами. ДРФ звуться функцiї виду (10.6) комплексної змiнної . ДРФ можна визначити ще, як вiдношення полiномiв i з дiйсними коефіцієнтами. Цi коефiцiєнти i - дiйснi числа, тому що вони є добутком провiдностей. Функцiя (10.6) зветься правильною, якщо степiнь полiнома чисельника нижчий степеня полiнома знаменника (m < n). Найбiльше з чисел m i n характеризує порядок функцiї. Якщо винести коефiцiєнти i , то полiноми i можна розкласти на добутки m(n) лiнiйних спiвмножникiв, тобто податити у виглядi: . (10.7) де - коренi полiнома чисельника, або нулi функцiї ; - коренi полiнома знаменника, або полюси функцiї . Оскiльки коефiцiєнти i - дiйснi числа, то комплекснi коренi полiномiв чисельника i знаменника можуть зустрiчатися лише спряженими парами (i ). Коренi чисельника i знаменника можна показати на комплекснiй площинi. Зображення нулiв та полюсiв операторної функцiї на комплекснiй площинi зветься картою нулiв та полюсiв (рис.10.2б).
10.1 Зв'язок мiж операторною характеристикою i диференцiйним рiвнянням кола Електричне коло, як вiдомо, можна описати диференцiйним рiвнянням, яке має вигляд . (10.8) Вважатимемо, що ; . Тодi, вiдповiдно до теореми диференцiювання, можна записати ; ; ; ......................................................... . Переведемо рiвняння (10.8) до простору зображень. При цьому в останньому рiвняннi позначимо суму похiдних як деякий полiном ; якщо , то ; якщо , то . Тодi (10.9) Перетворимо рiвняння (10.9) ; або , (10.10) де - характеристичний полiном. З (10.10) можна отримати вираз для : , звiдки матимемо . (10.11) Для реального кола при , (перше лапласiвське обмеження). Отже, при повинна дорiвнювати нулю також функцiя . Щоб в рiвняннi (10.10) при , необхiдно виконати умову . (10.12) Оскiльки визначається за нульових початкових умов, формула (10.12) буде справедлива. Тодi з (10.11) отримуємо , де - характеристичний полiном (або полiном Гурвiца). Висновок. Передатна функцiя однозначно пов'язана з параметрами ЛЕК. До знаменника операторної функцiї будь-якого стiйкого електричного кола входить полiном з дiйсними коефiцiєнтами , який зветься характеристич-ним полiномом або полiномом Гурвiца. Полюси знаходяться серед коренiв характеристичного рiвняння, що відповідає диференцiйному рiвнянню (10.8). Полiном має характернi ознаки: 1) вiдповiдає режиму вiльних коливань; 2) всi коренi полiнома Гурвiца повиннi знаходитись у лiвiй пiвплощинi; 3) мiстить всi степенi , причому коефiцiєнти при степенях або всi додатнi, або всi вiд'ємнi. Отже, аби отримати характеристичне рiвняння, треба записати та прирiвняти знаменник до нуля. Наприклад, для кола (рис.10.1а) ; ; . Для отримання характеристичного рiвняння можна також скористатись вхiдними операторними функцiями. Якщо вхідною дією є напруга, треба прирiвняти до нуля вхiдний опiр ; якщо дією є струм, то треба розв'язати рiвняння . Принагiдно нагадаємо, що характер вiльних коливань у колi залежить вiд вигляду коренiв (полюсiв ). Кожному простому дiйсному кореню (полюсу) вiдповiдає доданок ; кожнiй парi простих комплексно-спряжених полюсiв вiдповiдає доданок . Для кратних полюсiв (наприклад, другого степеня кратностi) можна записати . У цих виразах коефiцiєнти , , , - дiйснi константи. Наприклад, картi полюсiв (рис.10.2б) вiдповiдає коливання, яке описується функцiєю (всi коренi простi): . Читайте також:
|
||||||||
|